ה גֵאוֹמֶטרִיָהשָׁטוּחַ הוא תחום המחקר המתמקד בחפצים השייכים ל שָׁטוּחַכלומר, כל יסודותיו (נקודה, קו ומצולעים) נמצאים "במישור". הגיאומטריה החלה את דרכה ביוון העתיקה והיא ידועה גם בשם גֵאוֹמֶטרִיָהאוקלידיתשָׁטוּחַ, לכבודו של מלומד גדול בתחום בשם אוקלידס. המתמטיקאי האלכסנדרוני אוקליד ידוע בתור "אבי הגיאומטריה".
קרא גם: גיאומטריה מרחבית - לימוד דמויות תלת מימד
מושגי גיאומטריה במישור
כמה מושגים חיוניים להבנת גיאומטריה מישורית, אך הם אינם ניתנים להפגנה, מכונים אותם מושגים פרימיטיביים. האם הם:
נְקוּדָה
הנקודה אין ממד ובואו נציג אותו באות גדולה.
יָשָׁר
לקו יש מימד אחד, האורך, והוא מיוצג באות קטנה. הסטרייטי הוא אינסופי.
מתוך מושג קו ישר, אנו יכולים להגדיר שלושה מושגים אחרים: קטע קו ישר, קו חצי ישר וזווית.
– קטע ישר
קטע הקו מוגדר על ידי קו שתוחם על ידי שתי נקודות מובחנות, כלומר קו עם התחלה וסוף.
– חצי פי הטבעת
קרן מוגדרת כקו ישר עם התחלה וללא סוף, כלומר הוא יהיה אינסופי באחד הכיוונים.
– זָוִית
או זָוִית משמש למדידת הרווח בין שני קטעי קו ישר, קרן או ישר. כאשר אנו מודדים זווית, אנו קובעים את המשרעת שלה.
שָׁטוּחַ
למישור יש שני ממדים והוא מיוצג באות יוונית (α, β, γ, ...).
ראה גם: נקודה, קו, מישור וחלל: יסודות הגיאומטריה במישור
אל תפסיק עכשיו... יש עוד אחרי הפרסום;)
נוסחאות ודמויות עיקריות של גיאומטריה מישורית
כעת נבחן את הנוסחאות העיקריות לחישוב שטחים של דמויות שטוחות.
משולש
לחישוב השטח של a משולש, פשוט הכפל את מידת הבסיס (ב) עם מידת הגובה (h) וחלק את התוצאה בשניים.
כיכר
אנו מכירים את הצדדים של כיכר כולם אותו דבר. כדי לחשב את שטחו, נכפיל את מדד הבסיס עם מדד הגובה. מכיוון שהמדידות זהות, הכפלתן זהה לריבוע הצד.
מַלבֵּן
השטח של מַלבֵּן ניתן על ידי הכפלת הבסיס בגובה.
יהלום
השטח של יהלום ניתן על ידי תוצר האלכסון העיקרי (D) והאלכסון הקטן (ד) חלקי שניים.
טרַפֵּז
השטח של טרַפֵּז ניתן על ידי תוצר הגובה וסכום הבסיס העיקרי (B) והבסיס המשני (ב) חלקי שניים.
מעגל
השטח של מעגל של רדיוס r ניתן על ידי תוצר הרדיוס בריבוע עם המספר הלא רציונלי ℼ (בדרך כלל אנו משתמשים בערך ℼ = 3.14).
ראה גם: שטח מוצקים גיאומטריים - נוסחאות ודוגמאות
גיאומטריה מישורית ומרחבית
ה גיאומטריה מישורית הוא מאופיין בכך שכל מרכיביו כלולים במישור. לפיכך, לאף עצם בגיאומטריית מישור אין נפח, אלא שטח. אבל לעולם האמיתי אין רק שני ממדים, נכון? אתה, כרגע, יכול לנוע קדימה ואחורה (מימד אחד), ימינה ואל שמאל (מימד אחד נוסף) ולבסוף סובב לכיסא משרדי (מימד אחד נוסף), כלומר שלושה ממדים.
ה גיאומטריה מרחבית מדובר בחקר אובייקטים הנמצאים בממד השלישי. חלק מהמבנים הנלמדים בגיאומטריה מרחבית נמצאים בחיי היומיום שלנו, כגון כדורים, קונוסים, גלילים ו אבני אבנים.
גיאומטריה מטוס באויב
לגיאומטריה של המטוס יש יישומים רבים בחיי היומיום שלנו. בשל תחולתו הרחבה, יש מגוון בעיות שניתן לבחון, וכתוצאה מכך נושא זה מופיע לעיתים קרובות בשאלות הנוגעות לבחינות כניסה ואויב.
שאלות גיאומטריה במישור דורשות מהתלמיד חשיבה בונה והגיונית. הקושי הגדול של השאלות הוא לא במושגים הגיאומטריים עצמם, אלא במעורבות של נושאים כמו משוואה לתואר ראשון, משוואה לתואר שני, פעולות עם שברים, אֲחוּזִים ו פּרוֹפּוֹרצִיָה. בואו נסתכל על כמה דוגמאות.
→ דוגמה 1
(אויב / 2012) ב- 20 בפברואר 2011, הר הגעש בולוסן פרץ בפיליפינים. מיקומה הגיאוגרפי על הגלובוס ניתן על ידי GPS באורך של 124 ° 3 '0' 'מזרחית למרידיאן גריניץ'. (ניתן: 1 שווה 60 'ו- 1 שווה 60 ″.)
PAVARIN, G. גלילאו, פברואר. 2012 (מותאם)
הייצוג הזוויתי של מיקום הר הגעש ביחס לאורכו בצורה עשרונית הוא:
א) 124.02 °
ב) 124.05 °
ג) 124.20 מעלות
ד) 124.30 מעלות
ה) 124.50 °
פִּתָרוֹן
כדי לפתור את התרגיל, עלינו להפוך את 124 ° 3 'ו- 0 ″ (קרא: מאה עשרים וארבע מעלות, שלוש דקות ואפס שניות) למעלות. בשביל זה, אנחנו פשוט כותבים את 3 הדקות במעלות ומכיוון שהמיקום כולל 0 ″, אין מה לעשות.
התרגיל סיפק ש -1 ° שווה ל- 60 '. בואו נשתמש ב- כלל פשוט של שלוש כדי לקבוע כמה מעלות יש לנו ב -3 דקות.
1° – – – 60’
xx - - - 3 '
60x = 3
x = 3 ÷ 60
x = 0.05 °
לפיכך, 124 ° 3 'ו- 0 ″ שווה ערך לכתיבה:
124° + 0,05° + 0°
124,05°
תשובה: חלופה ב.
→ דוגמה 2
(אויב / 2011) לבית ספר יש שטח ריק בצורת מלבני עם היקף של 40 מ ', כאשר הכוונה היא לבצע קונסטרוקציה אחת המנצלת כמה שיותר שטח. לאחר ניתוח שנערך על ידי מהנדס, הוא הגיע למסקנה שכדי להגיע לשטח המקסימלי של הארץ עם קונסטרוקציה אחת, העבודה האידיאלית תהיה:
א) חדר אמבטיה של 8 מ '2.
ב) כיתה של 16 מ '2.
ג) אולם עם 36 מ '2.
ד) חצר עם 100 מ '2.
ה) גוש באורך 160 מ '2.
פִּתָרוֹן
מכיוון שאיננו יודעים את ממדי השטח המלבני, נקרא להם x ו- y.
על פי ההצהרה, ההיקף שווה ל 40 מ ', כלומר סכום כל הצדדים שווה ל 40 מ', לכן:
x + x + y + y = 40
2x + 2y = 40
2 (x + y) = 40
x + y = 20
y = 20 - x
אנו גם יודעים כי שטח המלבן ניתן על ידי תוצר הבסיס והגובה, כך:
A = x · y
החלפת הערך של y, מבודד לעיל, יש לנו:
A = x · (20 - x)
A = - x2 + 20x
עכשיו, כדי לדעת מהו השטח המקסימלי, פשוט קבעו את הערך פונקציה מקסימאלית A, כלומר לקבוע את קודקוד הפרבולה. הערך של xv זה ניתן על ידי:
לקביעת הערך של yvבואו נחליף את הערך של xv בפונקציה A.
A = - x2 + 20x
A = - (10)2 + 20(10)
A = - 100 + 200
A = 100 מ '2
לכן השטח המרבי הוא 100 מ '2.
תשובה: חלופה ד.
תרגילים נפתרו
שאלה 1 - בידיעה ששטח הטרפז שמתחתו הוא 18 מ '2, קבע את הערך של x.
פתרון הבעיה
כיוון שהשטח שווה ל 18 מ '2אנו יכולים להחליף אותו בנוסחה של אזור הטרפז, כמו גם בערכי המדדים הניתנים על ידי הבעיה. תראה:
לפתור כעת את משוואת התואר השני, יש לנו:
שים לב שהערך של x בבעיה מתאר מידה של אורך, כך שהוא יכול רק להניח ערך חיובי, אז:
x = 3
שאלה 2 - חישב את שטח היהלום בעל האלכסון הגדול ככפול הקטן ביותר.
פתרון הבעיה
מכיוון שאיננו יודעים את ערכי האלכסונים, בואו נקרא אותם על ידי x.
אלכסון קל (ד) → x
אלכסון גדול יותר (D) → 2x
והחלפת מידע זה בנוסחה יש לנו:
מאת רובסון לואיז
מורה למתמטיקה
