אַלגֶבּרָה זה הענף של המתמטיקה שמכליל חשבון. פירוש הדבר שמושגים ופעולות מחשבון (חיבור, חיסור, כפל, חלוקה וכו ') ייבדק ויעילותם תוכח לכל המספרים השייכים לסטים מסוימים מספרי.
האם פעולת ה"הוספה ", למשל, באמת עובדת על כל המספרים השייכים למכלול המספרים הטבעיים? או שמא יש מספר טבעי מאוד גדול, קרוב לאינסוף, שמתנהג אחרת מאחרים כשהוא מתווסף? התשובה לשאלה זו ניתנת על ידי אַלגֶבּרָה: ראשית, קבוצת המספרים הטבעיים מוגדרת והפעולה מוסיפה; ואז מוכח שפעולת ההוספה פועלת לכל מספר טבעי.
לָנוּ לימודי אלגברה, אותיות משמשות לייצוג מספרים. אותיות אלה יכולות לייצג מספרים לא ידועים או כל מספר השייך לקבוצה מספרית. אם x הוא מספר זוגי, למשל, אז x יכול להיות 2, 4, 6, 8, 10,... באופן זה, x הוא כל מספר השייך לקבוצת המספרים הזוגיים וברור איזה סוג של מספר x הוא: מכפל של 2.
מאפייני פעולות מתמטיות
בידיעה שכל מספר השייך לקבוצה יכול להיות מיוצג באות, שקול את המספרים x, y ו- z כשייכים לקבוצת המספרים. אמיתי והפעולות חיבור ו כֶּפֶל מיוצג על ידי "+" ו- "·", בהתאמה. לכן המאפיינים הבאים תקפים ל- x, y ו- z:
1 - אסוציאטיביות
(x + y) + z = x + (y + z)
(x · y) · z = x · (y · z)
2 - קומוטטיביות
x + y = y + x
x · y = y · x
3 - קיום של אלמנט ניטרלי (1 להכפל ו 0 להוספה)
x + 0 = x
x · 1 = x
4 - קיוםשל אלמנט מנוגד (או סימטרי).
x + (–x) = 0
איקס· 1 = 1
איקס
5 - הפצה (נקרא גם המאפיין החלוקתי של כפל על תוספת)
x · (y + z) = x · y + x · z
אלה חמש נכסים תקפים לכל המספרים האמיתיים x, y ו- z, מכיוון שאותיות אלה שימשו לייצוג כל מספר ממשי. הם תקפים גם לפעולות חיבור וכפל.
ביטויים אלגבריים
במתמטיקה, ביטוי הוא רצף של פעולות מתמטיות המבוצעות עם מספרים מסוימים. לדוגמא: 2 + 3 - 7 הוא ביטוי מספרי. כאשר ביטוי זה כולל מספרים לא ידועים (לא ידועים), הוא נקרא ביטוי אלגברי. ביטוי אלגברי שיש לו מונח אחד בלבד נקרא מונומיום. כל ביטוי אלגברי שזו תוצאה של חיבור או חיסור בין שני מונומיות נקרא פולינום.
ביטויים אלגבריים, מונומיות ופולינומים הם דוגמאות לאלמנטים השייכים לאלגברה, שכן הם מורכבים מפעולות שבוצעו במספרים לא ידועים. זכור שמספר לא ידוע יכול לייצג כל מספר בערכת מספרים.
אל תפסיק עכשיו... יש עוד אחרי הפרסום;)
משוואות
משוואות הם ביטויים אלגבריים שיש להם שוויון. לכן, משוואה זהו תוכן של מתמטיקה המתייחס למספרים ללא ידועים באמצעות שוויון.
נוכחותו של הלא נודע היא המסווגת את משוואה כביטוי אלגברי. נוכחות השוויון מאפשרת למצוא את הפיתרון של משוואה, כלומר את הערך המספרי של הלא נודע.
דוגמאות
1) 2x + 4 = 0
2) 4x - 4 = 19 - 8x
3) 2x2 + 8x - 9 = 0
תפקידים
ההגדרה הפורמלית של פונקציה היא כדלקמן: כיבוש זהו כלל המתייחס לכל אלמנט של קבוצה לאלמנט יחיד של קבוצה שנייה.
כלל זה מיוצג באופן מתמטי על ידי ביטוי אלגברי שיש בו שוויון, אך הקשור בין הלא נודע לבלתי נודע. זהו ההבדל בין פונקציה למשוואה: המשוואה מתייחסת אלמוני למספר קבוע; בְּ- כיבוש, הלא נודע מייצג סט מספרי שלם. מסיבה זו, בתוך פונקציות, אלמונים נקראים משתנים, מכיוון שהם יכולים לקחת כל ערך בתוך הסט שהם מייצגים.
מכיוון שזה כרוך בביטויים אלגבריים, כיבוש זהו גם תוכן השייך לאלגברה, מכיוון שהאותיות מייצגות כל מספר השייך לכל קבוצת מספרים.
דוגמאות:
1) שקול את הפונקציה y = x2, כאשר x הוא בכלל מספר ממשי.
בזה כיבוש, המשתנה x יכול לקחת כל ערך בתוך קבוצת המספרים האמיתיים. מכיוון שהכלל המחבר בין המספרים המיוצגים על ידי x למספרים המיוצגים על ידי y הוא פעולה מתמטית בסיסית, ולכן y מייצג גם מספרים ממשיים. הפרט היחיד לגבי זה הוא ש- y לא יכול לייצג מספר ממשי שלילי בפונקציה זו, שכן y הוא תוצאה של כוח מעריכי של 2, שתמיד תהיה לו תוצאה חיובית.
2) שקול את הפונקציה y = 2x, כאשר x הוא a מספר טבעי.
בזה כיבוש, המשתנה x יכול לקחת כל ערך בתוך קבוצת המספרים הטבעיים. מספרים אלה הם המספרים השלמים החיוביים, ולכן הערכים ש- y יכול לקחת הם מספרים טבעיים מכפלים של 2. באופן זה, y הוא נציג של קבוצת המספרים הזוגיים.
מאלגברה קלאסית לאלגברה מופשטת
המושגים המפורטים עד כה מהווים את אלגברה קלאסית. חלק זה של האלגברה מקושר יותר לקבוצות של מספרים טבעיים, שלמים, רציונליים, לא רציונליים, אמיתיים ומורכבים ונלמד הן בחינוך היסודי והן בהשכלה הגבוהה. החלק האחר של האלגברה, המכונה מופשט, חוקר את אותם מבנים, אך עבור כל קבוצה.
לפיכך, בהינתן כל קבוצה, עם אלמנטים כלשהם (מספרים או לא), ניתן להגדיר פעולה "תוספת", פעולה "כפל" ולוודא את קיומם או לא של המאפיינים של פעולות אלה, כמו גם את תקפותן של "משוואות", "פונקציות", "פולינומים" וכו '
מאת לואיז פאולו מוריירה
בוגר מתמטיקה
