מטריצה היא משולשת כאשר אלמנטים מעל האלכסון הראשי או אלמנטים שמתחת לאלכסון הראשי כולם אפסים. ישנם שני סיווגים אפשריים לסוג זה של מטריצות: הראשון הוא כאשר האלמנטים מעל האלכסון הראשי הם אפסים, שמגדיר מטריצה משולשת תחתונה; השני הוא כאשר האלמנטים שמתחת לאלכסון הראשי הם אפסים, וקובעים מטריצה משולשת עליונה.
כדי לחשב את הקובע של מטריצה משולשת לפי הכלל של סרוס, פשוט בצע את הכפל האלכסוני הראשי, מכיוון שהכפלות האחרות כולן יהיו שוות לאפס.
קרא גם: מערך - מה זה וסוגים קיימים
סוגי מטריקס משולשים
כדי להבין מהי מטריצה משולשת, חשוב לזכור מה האלכסון הראשי של מטריצה מרובעת, שהיא המטריצה שיש לה מספר זהה של שורות ועמודים. האלכסון העיקרי של המטריצה הוא המונחים a.ij, כאשר i = j, כלומר הם המונחים בהם מספר השורה שווה למספר העמודה.
דוגמא:
הבנת מהי מטריצה מרובעת ומה האלכסון העיקרי שלה, בואו נדע מהי מטריצה משולשת וסיווגיה. ישנם שני סיווגים אפשריים למטריצה המשולשת: המטריצה משולשת תחתונה ומטריקס משולש עליון.
- מטריצה משולשת תחתונה: מתרחש כאשר כל המונחים מעל האלכסון הראשי שווים לאפס והמונחים שמתחת לאלכסון הראשי הם מספרים אמיתיים.
דוגמה מספרית:
- מטריצה משולשת עליונה: מתרחש כאשר כל המונחים מתחת לאלכסון הראשי שווים לאפס והמונחים מעל האלכסון הראשי הם מספרים ממשיים.
דוגמה מספרית:
מטריצה אלכסונית
המטריצה האלכסונית היא a מקרה מסוים של מטריצה משולשת. בו, המונחים היחידים שאינם אפסים הם אלה הכלולים באלכסון הראשי. המונחים מעל או מתחת לאלכסון הראשי שווים כולם לאפס.
דוגמאות מספריות למטריצה אלכסונית:
קובע מטריצה משולשת
ניתנת מטריצה משולשת, כאשר מחשבים את הקובע של מטריצה זו על ידי שלטונו של סרוס, אתה יכול לראות שכל הכפל שווה לאפס, למעט הכפל של המונח של האלכסון הראשי.
det (A) = א11 · א22· א33 + את12 · א23 · 0 + את13 · 0 · 0 - ( ה13 ·ה23 ·0 + את11 · א23 · 0 + את12 · 0· א33)
שים לב שבכל המונחים למעט הראשון, אפס הוא אחד הגורמים, והכל כֶּפֶל באפס שווה לאפס, לכן:
det (A) = א11 · א22· א33
שים לב שזה המוצר שבין תנאי האלכסון הראשי.
ללא קשר למספר השורות והעמודות שיש למטריצה משולשת, שלה הקובע תמיד יהיה שווה לתוצר של מונחי האלכסון הראשי.
ראה גם: קובע - תכונה המיושמת על מטריצות מרובעות
מאפייני מטריקס משולשים
למטריצה המשולשת יש כמה מאפיינים ספציפיים.
- נכס ראשון: הקובע של מטריצה משולשת שווה לתוצר של מונחי האלכסון הראשי.
- נכס שני: המוצר בין שתי מטריצות משולשות הוא מטריצה משולשת.
- נכס שלישי: אם אחד ממונחי האלכסון הראשי של המטריצה המשולשת שווה לאפס, אז הקובע שלו יהיה שווה לאפס, וכתוצאה מכך הוא לא יהיה הפיך.
- נכס רביעי: המטריצה ההפוכה של מטריצה משולשת היא גם מטריצה משולשת.
- נכס 5: הסכום של שתי מטריצות משולשות עליונות הוא מטריצה משולשת עליונה; באופן דומה, הסכום של שתי מטריצות משולשות תחתונות הוא מטריצה משולשת תחתונה.
תרגילים נפתרו
1) בהתחשב במטריצה A, ערך הקובע A הוא:
א) 2
ב) 0
ג) 9
ד) 45
ה) 25
פתרון הבעיה
חלופה ד.
מטריצה זו משולשת תחתונה, ולכן הקובע שלה הוא כפל המונחים באלכסון הראשי.
det (A) = 1 · 3 · 3 · 1 · 5 = 45
2) שפט את ההצהרות הבאות.
אני → כל מטריצה מרובעת משולשת.
II → סכום המטריצה המשולשת העליונה עם המטריצה המשולשת התחתונה הוא תמיד מטריצה משולשת.
III → כל מטריצת זהות אלכסונית היא מטריצה משולשת.
הסדר הנכון הוא:
א) V, V, V.
ב) F, F, F.
ג) F, V, F.
ד) F, F, V.
ה) V, V, F.
פתרון הבעיה
חלופה ד.
I → False, מכיוון שכל מטריצה משולשת היא מרובעת, אך לא כל מטריצה מרובעת היא משולשת.
II → שקר, כיוון שהסכום בין מטריצה משולשת עליונה ותחתונה לא תמיד מביא למטריצה משולשת.
III → נכון, שכן המונחים השונים מהאלכסון שווים לאפס.
מאת ראול רודריגס דה אוליביירה
מורה למתמטיקה
מָקוֹר: בית ספר ברזיל - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-triangular.htm