Tutti i numeri esistenti sono stati creati secondo i bisogni umani al momento della creazione, come nel caso dei numeri naturali, che sono stati creati per contare e controllare "scorte", e numeri irrazionali, che sono stati stabiliti per risolvere problemi in relazione a radici. Furono proprio i problemi legati alle radici che diedero inizio alla conoscenza del numeri complessi.
L'equazione quadratica x2 + 4x + 5 = 0 non ha radici reali. Ciò significa che, all'interno dell'insieme dei numeri reali, è impossibile trovare valori per x uguali al primo termine di questa equazione al secondo. Osserviamo questo fenomeno dall'inizio della formula di Bhaskara:
Δ = 42 – 4·1·5
Δ = 16 – 20
Δ = – 4
Una volta trovato un valore negativo per, diventa impossibile procedere con la formula di Bhaskara, poiché richiede il calcolo di √Δ (radice del delta). Ora, sappiamo che – 4 non può essere calcolato perché non esiste un numero reale che, moltiplicato per se stesso, risulterebbe – 4.
I numeri complessi sono stati creati per soddisfare queste esigenze. Dalla sua creazione, il √– 4 può essere sviluppato come segue:
√– 4 = √(– 1·4) = √(– 1)·22 = 2√(– 1)
Un √(– 1) è inteso come un nuovo tipo di numero. L'insieme di tutti questi numeri è noto come insieme dei numeri complessi e ciascun rappresentante di questo nuovo insieme è definito come segue: Sia A un numero complesso, quindi,
A = Il + BIo dove Ile B sono numeri reali e i = √(– 1)
In questa definizione, Il È noto come parte reale di A e B È noto come parte immaginaria di A.
Proprietà dei numeri complessi
I numeri reali rappresentano, nella loro interezza e geometricamente, una linea. I numeri complessi, a loro volta, rappresentano un intero piano. Il piano cartesiano utilizzato per rappresentare i numeri complessi è noto come piano di Argand-Gauss.
Ogni numero complesso può essere rappresentato sul piano di Argand-Gauss come un punto di coordinate (a, b). La distanza dal punto che rappresenta un numero complesso al punto (0,0) è chiamata modulo del numero complesso., che è definito:
Sia A = a + bi un numero complesso, il suo modulo è |A| = a2 + b2
I numeri complessi hanno anche un elemento inverso, chiamato coniugato. È definito come:
Sia A = a + bi un numero complesso,
Ā = a – bi è il coniugato di questo numero.
Proprietà 1: Il prodotto di un numero complesso e il suo coniugato è uguale alla somma dei quadrati della parte reale e della parte immaginaria del numero complesso. Matematicamente:
AĀ = a2 + b2
Esempio: qual è il prodotto di A = 2 + 5i per il suo coniugato?
Basta fare il calcolo: a2 + b2 = 22 + 52 = 4 + 25 = 29. Se scegliessimo di scrivere la coniugata di A e, successivamente, di eseguire la moltiplicazione AĀ, avremmo:
LaĀ = (2 + 5i) (2 - 5i)
LAĀ = 4 – 10i + 10i + 25
AĀ = 4 + 25
AĀ = 29
Cioè, usando la proprietà proposta, è possibile evitare un calcolo lungo così come errori durante questi calcoli.
Proprietà 2: Se un numero complesso A è uguale al suo coniugato, allora A è un numero reale.
Sia A = a + bi. Se A = Ā, allora:
a + bi = a - bi
bi = - bi
b = - b
Pertanto, b = 0
Pertanto, è obbligatorio che ogni numero complesso uguale al suo coniugato sia anche un numero reale.
Proprietà 3: Il coniugato della somma di due numeri complessi è uguale alla somma dei coniugati di questi numeri., questo è:
_____ _ _
A + B = A + B
Esempio: qual è il coniugato della somma di 7 + 9i e 2 + 4i?
____ ____
7 + 9i + 2 + 4i = 7 – 9i + 2 – 4i = 9 – 13i
Puoi prima aggiungere e poi calcolare il coniugato del risultato, oppure fare prima i coniugati e poi aggiungere i risultati in seguito.
Proprietà 4: Il coniugato del prodotto tra due numeri complessi è uguale al prodotto dei loro coniugati, cioè:
__ _ _
AB = A·B
Esempio: Qual è il prodotto dei coniugati di A = 7i + 10 e B = 4 + 3i?
(10 + 7i)·(4 + 3i) = (10 – 7i)·(4 – 3i) = 40 – 30i – 28i – 21 = 19 – 58i
A seconda della necessità dell'esercizio, è possibile prima moltiplicare e poi calcolare il coniugato, oppure visualizzare i coniugati prima di eseguire la moltiplicazione.
Proprietà 5: Il prodotto di un numero complesso A e il suo coniugato è uguale al quadrato del modulo di A, cioè:
AĀ = |A|2
Esempio: A = 2 + 6i, quindi AĀ = |A|2 = (√a2 + b2)2 = (√22 + 62)2 = 22 + 62 = 4 + 16 = 20. Si noti che non è necessario trovare il coniugato ed eseguire una moltiplicazione attraverso la proprietà distributiva della moltiplicazione sull'addizione (nota come soffione).
Proprietà 6: Il modulo di un numero complesso è uguale al modulo del suo coniugato. In altre parole:
|A| = |Ā|
Esempio: Trova il modulo del coniugato del numero complesso A = 3 + 4i.
Notare che non è necessario trovare il coniugato, poiché i moduli sono gli stessi.
|A| = √(a2 + b2)= √(32 + 42) = √(9 + 16) = √25 = 5
Se |Ā| fosse calcolato, l'unico cambiamento sarebbe a B quadrato negativo, che ha un risultato positivo. Pertanto, il risultato sarebbe ancora la radice di 25.
Proprietà 7: Se A e B sono numeri complessi, allora il prodotto modulo di A e B è uguale al modulo del prodotto di A e B., cioè:
|AB| = |A||B|
Esempio: Sia A = 6 + 8i e B = 4 + 3i, quanto vale |AB|?
Si noti che non è necessario moltiplicare i numeri complessi prima di calcolare il modulo. È possibile calcolare separatamente il modulo di ciascun numero complesso e quindi moltiplicare i risultati.
|A| = (62 + 82) = √(36 + 64) = √100 = 10
|B| = √(42 + 32) = √(16 + 9) = √25 = 5
|AB| = |A||B| = 10,5 = 50
Di Luiz Paulo Moreira
Laureato in Matematica
Fonte: Scuola Brasile - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/propriedades-envolvendo-numeros-complexos.htm
