poliedri (dal latino poli — molti — e edro — faccia) sono cifretridimensionale formato dall'unione di poligoni regolari, in cui gli angoli poliedrici sono tutti congruenti. L'unione di questi poligoni forma gli elementi che compongono il poliedro, sono: vertici, bordi e facce. Tuttavia, non tutte le figure tridimensionali sono poliedri, un esempio di ciò sono le figure che hanno facce curve chiamate corpi rotondi.
Esiste una formula matematica che mette in relazione gli elementi di un poliedro chiamato La relazione di Eulero. Inoltre, i poliedri si dividono in due gruppi: i cosiddetti poliedri convesso e il non convesso. Alcuni poliedri meritano un'attenzione speciale, sono chiamati I poliedri di Platone: tetraedro, esaedro, ottaedro, dodecaedro e icosaedro.
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poliedri convessi
Un poliedro sarà convesso quando formato da poligoni convesso, affinché siano accettate le seguenti condizioni:
- due dei poligoni Mai sono complanari, cioè non appartengono allo stesso piano.
- Ciascun lato di uno di questi poligoni appartiene a due soli poligoni.
- Il piano che contiene uno di questi poligoni lascia gli altri poligoni nello stesso semispazio.
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Elementi di un poliedro convesso
Considera questo poliedro convesso:
voi quadrilateri nella figura sono chiamati facce del poliedro.
voi pentagoni sono le facce e la base del poliedro, che prende il nome poliedro a base pentagonale.
I segmenti che formano ciascuna delle facce sono chiamati bordi del poliedro.
I punti in cui i bordi si incontrano sono chiamati are vertici.
Verrà chiamato il segmento di linea JC diagonale del poliedro, indicato con:
JC è una delle diagonali, abbiamo capito diagonale del poliedro come essere il segmento di linea che unisce due vertici non appartenenti alla stessa faccia.
Abbiamo anche l'angolo poliedrico, formato tra gli spigoli, indicato con:
Un angolo poliedrico si chiama a triestero quando tre gli spigoli originano da un vertice. Allo stesso modo, si chiama tetraedrico, Astuccio quattro i bordi hanno origine da un vertice e così via.
D'ora in poi, stabiliremo alcune notazioni, che sono:
Per saperne di più: Progettazione di solidi geometrici
Proprietà di un poliedro convesso
Proprietà 1
La somma degli spigoli di tutte le facce è pari al doppio del numero di spigoli del poliedro.
Esempio
Un poliedro ha 6 facce quadrate. Determiniamo il numero di bordi.
Secondo la proprietà, basta moltiplicare il numero di spigoli di una faccia per il numero di facce, e questo è uguale al doppio del numero di spigoli. Così:
Proprietà 2
La somma dei vertici di tutte le facce è uguale alla somma degli spigoli di tutte le facce, che è pari al doppio del numero di spigoli.
Esempio
Un poliedro con 5 angoli tetraedrici e 4 angoli esaedri. Determiniamo il numero di bordi.
Analogamente all'esempio precedente, la seconda proprietà dice che la somma degli spigoli di tutte le facce è pari al doppio del numero di spigoli. Il numero di spigoli è dato dal prodotto di 5 per 4 e 4 per 6, in quanto sono 5 angoli tetraedrici e 4 esaedrici. Così:
Poliedri concavi (non convessi)
Un poliedro è non convesso, o concavo, quando prendiamo due punti su facce diverse e la retta r che contiene questi punti non è tutto contenuto nel poliedro.
Nota che la retta (in blu) non è completa nel poliedro, quindi il poliedro (in rosa) è concavo o non convesso.
poliedri regolari
Diciamo che un poliedro è regolare quando le tue facce sono poligoni regolari uguali tra loro e con angoli poliedrici tutti uguali.
Vedi alcuni esempi:
Nota che tutte le tue facce sono poligoni regolari. Le sue facce sono formate da quadrati e gli spigoli sono tutti congruenti, cioè hanno la stessa misura.
leggereanche: Cosa sono i poligoni regolari e convessi?
La relazione di Eulero
Conosciuto anche come il teorema di Eulero, il risultato fu dimostrato da Leonhard Euler (1707 - 1783) e garantisce che in poliedro convesso tutto chiuso vale la seguente relazione:
Poliedri di Platone
Qualsiasi poliedro che soddisfa le seguenti condizioni è chiamato poliedro di Platone:
La relazione di Eulero è valida
Tutte le facce hanno lo stesso numero di bordi
Tutti gli angoli poliedrici hanno lo stesso numero di spigoli
È dimostrato che esistono solo cinque poliedri regolari e convessi, o poliedri di Platone, che sono:
tetraedro regolare
il tetraedro ha 4 facce triangolari congruente e 4 angoli triedrici congruente.
esaedro regolare
l'esaedro ha 6 facce quadrate congruente e 8 angoli triedrici congruente.
ottaedro regolare
l'ottaedro ha 8 facce triangolari congruente e 6 angoli tetraedrici congruente.
dodecaedro regolare
il dodecaedro ha 12 facce pentagonali congruente e 20 angolitriestero congruente.
icosaedro regolare
L'icosaedro ha 20 facce triangolari congruente e 12 angoli pentaedrici congruente.
esercizi risolti
1) (Nemico) Un gioiello è stato tagliato a forma di poliedro convesso a 32 facce, di cui 20 esaedri e il resto pentagonale. Questo gioiello sarà un regalo per una signora che festeggia il suo compleanno, completando un'età il cui numero è il numero dei vertici di questo poliedro. Questa signora sta completando:
a) 90 anni
b) 72 anni
c) 60 anni
d) 56 anni
e) 52 anni
Soluzione:
Dà proprietà 1 di poliedri convessi sappiamo che:
Ora come conosciamo il numero di spigoli è il numero di volti, possiamo usare la relazione di Eulero.
Poiché l'età che stai completando è uguale al numero di vertici, allora questo è 60 anni. Alternativa c.
2) (PUC-SP) Quanti spigoli ha un poliedro convesso con facce triangolari in cui il numero di vertici è tre quinti del numero di facce?
a) 60
b) 30
c) 25
d) 20
e) 15
Soluzione:
Dalle proprietà di un poliedro convesso e dall'esercizio si ha:
Sostituendo questi valori nella relazione di Eulero, abbiamo quanto segue:
Organizzando l'equazione precedente e risolvendo l'equazione in F, ne consegue che:
Sostituendo il valore del numero di facce trovato nell'equazione degli spigoli, avremo:
Alternativa b
di Robson Luiz
Insegnante di matematica