IL fattorizzazione dell'espressione algebrica consiste nello scrivere un'espressione algebrica in forma del prodotto. Nei casi pratici, cioè nella soluzione di alcuni problemi che comportano espressioni algebriche, la fattorizzazione è estremamente utile perché, nella maggior parte delle situazioni, semplifica l'espressione lavorata.
Per eseguire la fattorizzazione delle espressioni algebriche, utilizzeremo un risultato molto importante in matematica chiamato teorema fondamentale dell'aritmetica, che afferma che qualsiasi intero maggiore di 1 può essere scritto come il prodotto di numeri primi, Guarda:
121 = 11 · 11
60 = 5 · 4 · 3
Abbiamo appena preso in considerazione i numeri 121 e 60.
Leggi anche tu: Scomposizione di un numero in fattori primi
Metodi per fattorizzare le espressioni algebriche
Vedremo ora i principali metodi di fattorizzazione, di quelli più utilizzati faremo una breve giustificazione geometrica. Guarda:
Fattore di prova
Considera il rettangolo:
Nota che il rettangolo blu più l'area del rettangolo verde risulta nel rettangolo più grande. Diamo un'occhiata a ciascuna di queste aree:
ILBLU = b · x
ILVERDE = b · y
ILPIÙ GRANDE = b · (x + y)
Quindi, dobbiamo:
ILPIÙ GRANDE = ABLU + AVERDE
b (x + y) = bx + di
Esempi
Il) Per fattorizzare l'espressione: 12x + 24y.
Si noti che 12 è il fattore in evidenza, poiché compare in entrambi i pacchi, quindi per determinare i numeri che vanno all'interno delle parentesi è sufficiente Condividere ogni pacco dal fattore in evidenza.
12x: 12 = X
24 anni: 12 = 2 anni
12x + 24 anni = 12 · (X + 2 anni)
B) Per fattorizzare l'espressione 21ab2 – 70°2B.
Allo stesso modo, inizialmente, si determina il fattore in evidenza, cioè il fattore che si ripete nelle parcelle. Vedi che dalla parte numerica abbiamo il 7 come un fattore comune, poiché è quello che divide entrambi i numeri. Ora, per quanto riguarda la parte letterale, vedi che si ripete solo il fattore ab, pertanto, il fattore in evidenza è: 7ab.
21ab2 – 70°2b = 7ab (3b - 10Il)
Leggi anche tu: Divisione polinomiale: come si fa?
Factoring per raggruppamento
La fattorizzazione per raggruppamento è derivanti dal factoring mediante prove, l'unica differenza è che, invece di avere un monomio come fattore comune o fattore di evidenza, avremo un polinomio, vedi l'esempio:
Considera l'espressione (a + b) · xy + (a + b) · wz2
Si noti che il fattore comune è il binomio (a + b),pertanto, la forma fattorizzata dell'espressione precedente è:
(a + b) · (xy + wz2)
differenza tra due quadrati
Consideriamo due numeri a e b, quando abbiamo a differenza del quadrato di questi numeri, cioè il2 - B2, quindi possiamo scriverli come prodotto della somma per differenza, cioè:
Il2 - B2 = (a + b) · (a - b)
Esempi
Il) Per fattorizzare l'espressione x2 - si2.
Possiamo usare la differenza tra due quadrati, quindi:
X2 - si2 = (x + y) · (x - y)
B) Per fattorizzare il 20202 – 2.0192.
Possiamo usare la differenza tra due quadrati, quindi:
2.0202 – 2.0192 = (2.020 + 2.019) · (2.020 – 2.019)
2.0202 – 2.0192 = 4.039 · 1
2.0202 – 2.0192 = 4.039
Trinomio del quadrato perfetto
Prendi il quadrato successivo dal lato (a + b) e nota le aree dei quadrati e dei rettangoli formati al suo interno.
Vedi l'area di piazza maggiore è dato da (a + b)2, ma, d'altra parte, l'area del quadrato più grande può essere ottenuta sommando i quadrati e i rettangoli al suo interno, in questo modo:
(a + b)2 = il2+ ab + ab + b2
(a + b)2 = il2+ 2b + b2
(a + b)2 = il2 + 2ab + b2
Allo stesso modo, dobbiamo:
(a - b)2 = il2 – 2ab + b2
Esempio
Considera l'espressione x2 + 12x + 36.
Per fattorizzare un'espressione di questo tipo, basta identificare il coefficiente della variabile x e il coefficiente indipendente e confrontare con la formula data, vedere:
X2 + 12x + 36
Il2 + 2ab + b2
Facendo i confronti, vedi che x = a, 2b = 12 e b2 = 36; delle uguaglianze, abbiamo che b = 6, quindi l'espressione fattorizzata è:
X2 + 12x + 36 = (x + 6)2
Trinomio del Liceo
Considera il trinomio dell'ascia2 + bx + c. La sua forma fattorizzata può essere trovata usando le tue radici, ovvero i valori di x che zero fuori quell'espressione. Per determinare i valori che rendono questa espressione zero, basta risolvere l'equazione ax2 + bx + c = 0 usando qualsiasi metodo conveniente. Qui evidenziamo il metodo più noto: Metodo Bhaskara.
La forma fattorizzata del trinomio dell'ascia2 + bx + c è:
ascia2 + bx + c = a · (x – x1) · (x - x2)
Esempio
Considera l'espressione x2 + x – 20.
Il primo passo è determinare le radici dell'equazione x.2 + x – 20 = 0.
Quindi la forma fattorizzata dell'espressione x2 + x – 20 è:
(x – 4) · (x + 5)
Cubo della differenza tra due numeri
Il cubo della differenza tra due numeri a e b è dato da:
(a - b)3 = (a – b) · (a - b)2
(a - b)3 = (a – b) · (a2 – 2ab + b2)
Cubo della somma di due numeri
Allo stesso modo, abbiamo che (a + b)3 = (a + b) · (a + b)2 , presto:
(a + b)3 = (a + b) · (a2 + 2ab + b2)
esercizi risolti
domanda 1 – (Cefet-MG) Dove il numero n = 6842 – 6832, la somma delle cifre di n è:
a) 14
b) 15
c) 16
d) 17
e) 18
Risoluzione
Alternativa d. Per determinare la somma delle cifre di n, dobbiamo prima fattorizzare l'espressione, poiché calcolare i quadrati e poi sottrarre è un lavoro non necessario. Scomponendo l'espressione usando la differenza tra due quadrati, abbiamo:
n = 6842 – 6832
n = (684 + 683) · (684 - 683)
n = 1.367 · 1
n = 1.367
Pertanto, la somma delle cifre di n è data da 1 + 3 + 6 + 7 = 17
Domanda 2 - (Insper-SP modificato) Determinare il valore dell'espressione:
Risoluzione
Per rendere più semplice la notazione, chiamiamo a = 2009 e b = 2. ricorda che 22 = 4, quindi dobbiamo:
Notare che, al numeratore della frazione, abbiamo la differenza tra due quadrati, quindi possiamo scrivere il2 - B2 = (a + b) (a – b). Presto:
a – b = 2009 – 2 = 2007.
di Robson Luiz
Insegnante di matematica
Fonte: Scuola Brasile - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/fatoracao-expressao-algebrica.htm