la comprensione di imposta è la base principale per lo studio di algebra e concetti di grande importanza in matematica, come funzioni e disuguaglianze. La notazione che usiamo per gli insiemi è sempre una lettera maiuscola del nostro alfabeto (es. set A o set B).
In termini di rappresentazione di insiemi, può essere fatto da diagramma di Venn, descrivendo semplicemente le caratteristiche dei suoi elementi, enumerando gli elementi o descrivendone le proprietà. Quando si lavora con problemi che coinvolgono insiemi, ci sono situazioni che richiedono l'esecuzione di operazioni tra insiemi, essendo l'unione, l'intersezione e la differenza. Studieremo tutto questo in dettaglio?
Vedi anche: Espressioni numeriche: impara a risolverle!
Notazione e rappresentazione degli insiemi
Per la rappresentazione di un insieme, usiamo sempre a lettera maiuscola dell'alfabeto, e gli elementi sono sempre tra chiavi e sono separati da una virgola. Per rappresentare l'insieme dei numeri pari maggiori di 1 e minori di 20, ad esempio, usiamo la seguente notazione: P ={2,4,6,8,10,12,14,16,18}.
Forme di rappresentazione degli insiemi
rappresentazione per enumerazione: possiamo enumerarne gli elementi, cioè fare un elenco, sempre tra parentesi graffe. Vedi un esempio:
A = {1,5,9,12,14,20}
descrivendo le caratteristiche: possiamo semplicemente descrivere la caratteristica dell'insieme. Ad esempio, sia X un insieme, abbiamo che X = {x è un numero positivo multiplo di 5}; Y: è l'insieme dei mesi dell'anno.
Diagramma di Venn: gli insiemi possono anche essere rappresentati sotto forma di un diagramma, noto come a diagramma di Venn, che è una rappresentazione più efficiente per eseguire operazioni.
Esempio:
Dato l'insieme A = {1,2,3,4,5}, possiamo rappresentarlo nel seguente diagramma di Venn:
Elementi di un insieme e relazione di appartenenza
Dato un qualsiasi elemento, possiamo dire che l'elemento appartiene al set o non appartiene a quell'insieme. Per rappresentare più rapidamente questa relazione di appartenenza, utilizziamo i simboli
(leggi come appartenente) e ∉ (leggi come non appartenente). Ad esempio, sia P l'insieme di numeri di coppia, possiamo dire che il 7 ∉ P e che 12 p.
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Uguaglianza di insiemi
Il confronto tra insiemi è inevitabile, quindi possiamo dire che due insiemi sono uguali o meno, verificando ciascuno dei suoi elementi. Sia A = { 0,1,3,4,8} e B = { 8,4,3,1,0}, anche se gli elementi sono in ordine diverso, possiamo dire che gli insiemi A e B sono uguali: A = B
Relazione di inclusione
Quando si confrontano due insiemi, possiamo imbatterci in diverse relazioni e una di queste è la relazione di inclusione. Per questa relazione, abbiamo bisogno di conoscere alcuni simboli:
⊃ → contiene→ è contenuto
⊅ → non contiene→non è contenuto
Suggerimento: il lato di apertura del simbolo sarà sempre rivolto verso il set più grande. |
Quando tutti gli elementi di un insieme A appartengono anche a un insieme B, si dice che A ⊂ B o che A è contenuto in B. Ad esempio, A={1,2,3} e B={1,2,3,4,5,6}. È anche possibile eseguire la rappresentazione tramite diagramma di Venn, sarebbe simile a questo:
A è contenuto in B:
A ⊂ B
sottoinsiemi
Quando un relazione di inclusione, cioè l'insieme A è contenuto nell'insieme B, possiamo dire che A è un sottoinsieme di B. Il sottoinsieme rimane un insieme, e a l'insieme può avere più sottoinsiemi, costruito dagli elementi che gli appartengono.
Ad esempio: A: {1,2,3,4,5,6,7,8} ha come sottoinsiemi gli insiemi B: {1,2,3}; C: {1,3,5,7}; D: {1} e anche l'insieme A {1,2,3,4,5,6,7,8}, cioè A è un sottoinsieme di se stesso.
insieme unitario
Come suggerisce già il nome, è quel set che ha un solo elemento, come l'insieme D:{1} mostrato in precedenza. Dato l'insieme B: {1,2,3}, abbiamo i sottoinsiemi {1}, {2} e {3}, che sono tutti insiemi di unità.
ATTENZIONE: Anche l'insieme E: {0} è un insieme unitario, poiché ha un singolo elemento, “0”, e non è un insieme vuoto.
Leggi anche: Insieme di numeri interi - elementi e caratteristiche
set vuoto
Con un nome ancora più suggestivo, l'insieme vuoto non ha elementi ed è un sottoinsieme di qualsiasi insieme. Per rappresentare l'insieme vuoto, ci sono due possibili rappresentazioni, sono V: { } o il simbolo Ø.
Set di parti
Conosciamo come insiemi di parti tutti i possibili sottoinsiemi di un dato insieme. Sia A: {1,2,3,4}, possiamo elencare tutti i sottoinsiemi di questo insieme A a partire dagli insiemi che non hanno elementi (vuoti) e poi quelli che hanno uno, due, tre e quattro elementi, rispettivamente.
set vuoto: { };
Set di unità: {1}; {2};{3}; {4}.
Insiemi con due elementi: {1,2}; {1,3}; {1,4}; {2,3}; {2,4}; {3,4}.
set con tre elementi: {1,2,3}; {1,3,4}; {1,2,4}; {2,3,4}.
Set con quattro elementi: {1,2,3,4}.
Pertanto, possiamo descrivere l'insieme delle parti di A in questo modo:
P: { { }, {1}, {2}, {3}, {4}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4 }, {3,4}, {1,2,3}, {1,3,4}, {1,2,4}, {2,3,4}, {1,2,3,4} }
Per scoprire quante parti è possibile dividere un insieme, usiamo la formula:
n[P(A)] = 2no
Il numero di parti di A è calcolato da a potenza base 2 rialzata a no, su cosa no è il numero di elementi dell'insieme.
Consideriamo l'insieme A: {1,2,3,4}, che ha quattro elementi. Il totale dei possibili sottoinsiemi di questo insieme è 24 =16.
Leggi anche: Qual è l'insieme dei numeri irrazionali?
Insieme finito e infinito
Quando si lavora con gli insiemi, troviamo insiemi che sono limitato (finito) e quelli che sono illimitato (infinito). Il set di numeri pari o dispari, ad esempio, è infinito e, per rappresentarlo, descriviamo in sequenza alcuni suoi elementi, in modo che sia possibile prevedere quali saranno i prossimi elementi, e mettiamo delle ellissi nel Finale.
Io: {1,3,5,7,9,11...}
P: {2,4,6,8,10, ...}
In un insieme finito, tuttavia, non mettiamo le ellissi alla fine, poiché ha un inizio e una fine definiti.
R: {1,2,3,4}.
set dell'universo
oh set dell'universo, denotato da tu, è definito come l'insieme formato da tutti gli elementi che devono essere considerati all'interno di un problema. Ogni elemento appartiene all'insieme dell'universo e ogni insieme è contenuto nell'insieme dell'universo.
Operazioni con gli insiemi
Le operazioni con gli insiemi sono: unione, intersezione e differenza.
Intersezione di insiemi
Un'intersezione si verifica quando gli elementi appartengono contemporaneamente a uno o più insiemi. Quando scriviamo A∩B, cerchiamo elementi che appartengono sia all'insieme A che all'insieme B.
Esempio:
Consideriamo A= {1,2,3,4,5,6} e B = {2,4,6,7,8}, gli elementi che appartengono sia all'insieme A che all'insieme B sono: A∩B = { 2 ,4,6}. La rappresentazione di questa operazione viene eseguita come segue:
A∩B
Quando gli insiemi non hanno elementi in comune, sono noti come insiemi disgiunti.
A∩B = Ø
differenza tra i set
calcolare il differenza tra due set consiste nel cercare elementi che appartengano a uno solo dei due insiemi. Ad esempio, A – B ha come risposta un insieme composto da elementi che appartengono all'insieme A e non appartengono all'insieme B.
Esempio: A: {1,2,3,4,5,6} e B: {2,4,6,7,8}. Nota che A ∩ B ={2,4,6}, quindi abbiamo che:
a) A - B = { 1,3,5 }
b) SI – LA = {7,8}
Unità
L'unione di due o più insiemi è il unendo le tue condizioni. Se ci sono elementi che si ripetono in entrambi gli insiemi, vengono scritti solo una volta. Ad esempio: A={1,2,3,4,5} e B={4,5,6,7,10,14}. Per rappresentare l'unione, usiamo il simbolo (si legge: A unione con B).
A U B = {1,2,3,4,5,6,7,10,14}
Per saperne di più su queste operazioni e controllare diversi esercizi risolti, leggi: Operazioni con gli insiemi.
Le leggi di Morgan
Siano A e B due insiemi e sia U l'insieme dell'universo, ci sono due proprietà che sono date dalle leggi di Morgan, cioè:
(A U B)ç = Aç Bç
(A ∩ B)ç = Aç U Bç
Esempio:
Dati gli insiemi:
U: {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20}
R: {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20}
B: {5.10,15,20}
Verifichiamo che (A U B)ç = Aç Bç. Quindi, dobbiamo:
A U B = {2,4,5,6,8,10,12,14,15,16,18,20}
Pertanto, (A U B)ç={1,3,7,9,11,13,17,19}
Per verificare la veridicità dell'uguaglianza, analizziamo l'operazione Aç Bç:
ILç:{1,3,5,7,9,11,13,15,17,19}
Bç:{1,2,3,4,6,7,8,9,11,12,13,14,16,17,18,19}
Poi, ILç Bç ={1,3,7,9,11,13,15,17,19}.
(A U B)ç = Aç Bç
esercizi risolti
01) Considera U: {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, A: {1,2,3,4,5,6} e B: {4,5,6, 7,8,9}. Mostra che (A ∩ B)ç = Aç U Bç.
Risoluzione:
1° passo: trova (A ∩ B)ç. Per questo, abbiamo che A ∩ B = {4,5,6}, quindi (A ∩ B)ç ={1,2,3,7,8,9,10}.
2° passo: trova unç U Bç. ILç:{7,8,9,10} e SIç:{1,2,3,10}, quindi Aç U Bç = {1,2,3,7,8,9,19}.
Si dimostra che (A ∩ B)ç = Aç U Bç.
02) Sapendo che A è l'insieme dei numeri pari da 1 a 20, qual è il numero totale di sottoinsiemi che possiamo costruire dagli elementi di quell'insieme?
Risoluzione:
Sia P l'insieme descritto, abbiamo che P: {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20}. Pertanto, il numero di elementi di P è 10.
Per la teoria degli insiemi delle parti, il numero di possibili sottoinsiemi di P è:
210=1024
Di Raul Rodrigues de Oliveira
Insegnante di matematica
(PUC-Rio-2009) In una scuola, con 100 studenti, 80 come il gelato al cioccolato, 70 come il gelato alla crema e 60 come entrambi i gusti. A quanti studenti non piace nessuno dei due sapori?
(PUC) In una ricerca di mercato, è emerso che 15 persone utilizzano almeno uno dei prodotti A o B. Sapendo che 10 di quelle persone non usano il prodotto B e 2 di quelle persone non usano il prodotto A, quante persone usano i prodotti A e B?
