Operazioni con vettori e rappresentazioni geometriche

A differenza delle figure geometriche da lui formate, il Punto non ha definizione. Ciò significa che, in Geometria, un punto è un oggetto indefinito utilizzato nella definizione di altri oggetti. Le linee, ad esempio, sono insiemi di punti. Sebbene sembrino ben definite, anche le linee non hanno definizione, poiché qualsiasi insieme contenente due o più punti è considerato diritto.

D'altra parte, in Geometria Analitica, il punto viene preso come posizione. Qualsiasi luogo può essere rappresentato da un punto e, inoltre, l'“indirizzo” di quel punto è dato mediante coordinate.

Tuttavia, nella geometria analitica, i punti sono solo in grado di indicare le posizioni. Sono necessari altri oggetti per indicare traiettoria, direzione, direzione e intensità. Nel caso di questi ultimi tre, l'oggetto scelto per rappresentarli nel piano cartesiano è il vettore.

→ Che cos'è un vettore?

Vettori, quindi, sono oggetti che indicano direzione, senso e intensità. Di solito sono rappresentati da frecce, che partono dall'origine, e vengono utilizzate le coordinate del loro ultimo punto.

Nell'immagine sopra, i vettori sono rappresentati in questo modo, cioè frecce le cui coordinate corrispondono al loro punto finale. Il vettore u ha coordinate (2,2) e il vettore v ha coordinate (4,2). Inoltre, la freccia viene utilizzata per indicare la direzione e la direzione e le sue dimensioni indicano l'intensità.

→ Moltiplicazione vettoriale per un numero

Dato il vettore v = (a, b), il prodotto del numero reale k per v è dato dall'espressione:

k·v = k·(a, b) = (k·a, k·b)

In altre parole, per moltiplicare un numero reale per un vettore, devi moltiplicare il numero reale per ciascuna delle sue coordinate.

Geometricamente, moltiplicando un vettore per un numero reale, la dimensione del vettore aumenta linearmente:

Nota che, nell'esempio sopra, il vettore u ha coordinate (2.2) e il vettore u·k ha coordinate (4.4). Risolvendo l'equazione (4.4) = k (2.2), si può concludere che k = 2.

→ Aggiunta di vettori

Dati due vettori u = (a, b) e v = (c, d), la somma tra di essi si otterrà mediante l'espressione:

u + v = (a + c, b + d)

In altre parole, basta sommare le coordinate corrispondenti di ciascun vettore. Questa operazione è espandibile alla somma di 3 o più vettori con 3 o più dimensioni.

Geometricamente, partendo dal punto finale del vettore u, si traccia un vettore v' parallelo al vettore v. Partendo dal vettore v, si traccia un vettore u' parallelo al vettore u. Questi quattro vettori formano un parallelogramma. Il vettore u + v è la seguente diagonale di questo parallelogramma:

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Per sottrarre vettori, considera la sottrazione come la somma di un vettore e l'opposto di un altro. Ad esempio, per sottrarre il vettore v dal vettore u, scrivi: u – v = u + (-v). Il vettore -v è il vettore v, ma con i segni delle coordinate invertiti.

Osservando da vicino, le operazioni "moltiplicazione di un vettore per un numero" e "addizione di vettori" fare uso di operazioni di moltiplicazione e addizione sui numeri reali, ma su ogni componente della vettore. Pertanto, per i vettori, sono valide tutte le proprietà di addizione e moltiplicazione dei numeri reali, ovvero:

Dati i vettori u, v e w e i numeri reali k e l,

i) (u + v) + w = ​​u + (v + w)

ii) u + v = v + u

iii) esiste un vettore 0 = (0.0) tale che v + 0 = v

iv) Esiste un vettore -v tale che v + (-v) = 0

v) k (u + v) = ku + kv

vi) (k + l) v = kv + lv

vii) kl (v) = k (lv)

viii) 1v = v

→ Standard di un vettore

La norma di un vettore è l'equivalente della grandezza di un numero reale, cioè la distanza tra un vettore e il punto (0,0) o, a seconda del sistema di riferimento, la lunghezza del vettore.

La norma del vettore v = (a, b) si indica con ||v|| e si calcola con l'espressione:

||v|| = √(a² + b²)

→ Prodotto interno

Il prodotto interno è paragonabile al prodotto tra vettori. Si noti che il prodotto sopra menzionato è il prodotto tra un vettore e un numero reale. Ora, il "prodotto" in questione è tra due vettori. Tuttavia, non si dovrebbe dire "prodotto tra due vettori", ma piuttosto "prodotto interno tra due vettori". Il prodotto interno tra i vettori v = (a, b) e u = (c, d) è indicato con e può essere calcolato come segue:

= a·c + b·d

È anche consuetudine utilizzare la seguente notazione:

=

Nota che usando la norma del vettore v = (a, b), possiamo mettere in relazione la norma e il prodotto scalare.

||v|| = √(a² + b²) = (a·a + b·b) = ()

Di Luiz Paulo Moreira
Laureato in Matematica