Lo studio della trigonometria consente la determinazione dei valori di seno, coseno e tangente per diversi angoli in base a valori noti. A formule di addizione ad arcosono uno dei più utilizzati per questo scopo:
sin (a + b) = sin a · cos b + sin b · cos a
sin (a – b) = sin a · cos b – sin b · cos a
cos (a + b) = cos a · cos b – sin a · sin b
cos (a – b) = cos a · cos b + sin a · sin b
tg (a + b) = tg a + tg b
1 - tg a · tg b
tg (a - b) = tg a - tg b
1 + tg a · tg b
Da queste formule è semplice determinare come procedere quando gli angoli Il e B loro sono la stessa cosa. In questo caso, diciamo che si tratta del funzioni trigonometriche del doppio arco. Sono loro:
sin (2a) = 2 · sin a · cos a
cos (2a) = cos² a - sin² a
tg (2a) = 2 · tg a1 - tg² a
Da queste funzioni, determineremo le funzioni trigonometriche della metà dell'arco. Considera quanto segue identità trigonometrica:
sin² a + cos² a = 1
sin² a = 1 - cos² a
sostituiamo sen² a nel cos (2a) = cos² a - sin² a:
cos (2a) = cos² a - sen² a
cos (2a) = cos² a - (1 - cos² a)
cos (2a) = cos² a - 1 + cos² a
cos (2a) = 2 · cos² a – 1
Ma stiamo cercando la formula giusta per il mezzo fiocco. Per farlo, considera che 
è metà dell'arco Il, e ovunque ci sia 2°, useremo solo Il:
isolare il cos² (Il/2):
Allora abbiamo la formula per calcolare il coseno dell'arco metà. Da esso determineremo il seno di . Dall'identità trigonometrica si ha:
sin² a + cos² a = 1
cos² a = 1 - sin² a
sostituzione cos² a nella formula del coseno del doppio arco, cos (2a) = cos² a - sin² a, avremo:
cos (2a) = cos² a – sen² a
cos (2a) = (1 - sen² a) – sen² a
cos (2a) = 1 – 2 · sin² a
Consideriamo ancora la metà degli archi in cos (2a) = 1 – 2 · sin² a. Rimarrà quindi:
isolare il sen² (Il/2), avremo:
Ora che abbiamo trovato anche la formula per seno della metà dell'arco, possiamo determinare la tangente di . Presto:
Abbiamo quindi determinato la formula per calcolare il mezzo arco tangente.
di Amanda Gonçalves
Laureato in Matematica
Fonte: Scuola Brasile - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/funcao-trigonometrica-arco-metade.htm
