Vettori sono oggetti matematici responsabili della descrizione della traiettoria dei punti. Molte volte, questi punti rappresentano oggetti concreti in movimento, che è studiato in dettaglio dalla Fisica. Quando si considerano le forze coinvolte nello spostamento (di fatto o potenziale) di un oggetto, la Fisica fa uso di vettori per rappresentarli. L'angolo formato da questi vettori è una parte cruciale dei calcoli, come una piccola variazione nell'angolo potrebbe richiedere più forza da applicare a un oggetto per avviarsi o rimanere dentro movimento.
I vettori sono rappresentati geometricamente da frecce, che sono linee rette orientate. Pertanto, un'estremità del segmento indica la posizione finale del punto spostato e l'altra estremità non è contrassegnata, indicando che il movimento è iniziato lì. Il punto di posizione dell'endpoint viene generalmente utilizzato per identificare un vettore che inizia all'origine di un sistema di coordinate. Considerando il piano cartesiano come sistema di coordinate, un vettore v, che inizia nel punto (0,0) e termina nel punto (a, b), è rappresentato solo come
vettore v = (a, b). Se il vettore inizia in un altro punto, spostalo nella posizione appropriata.
Vettore nel piano cartesiano
Trattandosi di rette orientate, è possibile calcolarne la lunghezza, che prende il nome di norma vettoriale. Il calcolo della norma di un vettore è dato allo stesso modo del distanza tra due punti ed è equivalente al calcolo del modulo di un numero reale. In questo modo la norma del vettore v = (a, b) si denota con |v| e può essere calcolato come segue:
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Considerando due vettori v = (a, b) e u = (a',b'), il prodotto domestico tra questi è indicato da
Il prodotto scalare tra due vettori è definito anche dall'angolo tra di essi. Questa definizione permette di calcolare l'angolo tra due vettori.
Angolo tra due vettori
Quindi, prendendo gli stessi vettori v e u, il coseno dell'angolo θ tra loro è dato dalla seguente espressione:
cosθ =
|v|·|u|
Con questi dati, definizioni e, in un certo senso, formule, è possibile tracciare una strategia per calcolare l'angolo tra due vettori.
Dati i vettori v = (2,2) e u = (0.2), calcoleremo l'angolo tra di loro. Per fare ciò, calcola prima la norma di ciascun vettore e il prodotto tra queste norme:
|v| = √(22 + 22)
|v| = (4 + 4)
|v| = 8
|u| = √(02 + 22)
|u| = (0 + 4)
|u| = 4
|v|·|u| = 8·√4
|v|·|u| = 4√2
Successivamente, calcola il prodotto interno tra v e u:
Infine, usa la formula dell'angolo tra i vettori per calcolare cosθ e a tabella dei valori del coseno per trovare il valore di .
cosθ =
|v|·|u|
cosθ = 4
4√2
cosθ = 4
4√2
cosθ = 2
√2
cosθ = √2
2
θ = 45°
Di Luiz Paulo Moreira
Laureato in Matematica
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SILVA, Luiz Paulo Moreira. "Angolo tra due vettori"; Brasile Scuola. Disponibile in: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/Angulo-entre-dois-vetores.htm. Consultato il 27 giugno 2021.
