Insiemi numerici sono raccolte di numeri che hanno caratteristiche simili. Sono nati come risultato dei bisogni dell'umanità in un certo periodo storico. Guarda cosa sono!
Insieme di numeri naturali
Il set di Numeri naturali è stato il primo che è stato ascoltato. Nasce dalla semplice necessità di fare i conti, quindi i suoi elementi sono solo numeri interi e non negativi.
Rappresentato da N, l'insieme dei numeri naturali ha i seguenti elementi:
no = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, …}
Set di numeri interi
Il set di numeri interi è un'estensione dell'insieme dei numeri naturali. Si forma unendo l'insieme dei numeri naturali con i numeri negativi. In altre parole, l'insieme degli interi, rappresentato da Z, ha i seguenti elementi:
Z = {…, – 4, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, 4, …}
Insieme di numeri razionali
Il set di numeri razionali nasce dalla necessità di dividere le quantità. Quindi questo è l'insieme dei numeri che possono essere scritti come una frazione. Rappresentato da Q, l'insieme dei numeri razionali ha i seguenti elementi:
Q = {x ∈ Q: x = a/b, a ∈ Z e b ∈ N}
La definizione di cui sopra si legge come segue: x appartiene ai razionali, tale che x è uguale a Il diviso per B, con Il appartenente agli interi e B appartenenti ai naturali.
In altre parole, se è una frazione o un numero che può essere scritto come frazione, allora è un numero razionale.
I numeri che possono essere scritti come frazione sono:
1 – Tutti i numeri interi;
2 – Decimali finiti;
3 – Decime periodiche.
I decimali finiti sono quelli che hanno un numero finito di posizioni decimali. Orologio:
1,1
2,32
4,45
I decimali periodici sono decimali infiniti, ma ripetono la sequenza finale delle loro posizioni decimali. Orologio:
2,333333...
4,45454545...
6,758975897589...
Set di numeri irrazionali
la definizione di numeri irrazionali dipende dalla definizione dei numeri razionali. Pertanto, tutti i numeri che non appartengono all'insieme dei razionali appartengono all'insieme dei numeri irrazionali.
In questo modo, o un numero è razionale o è irrazionale. Non è possibile che un numero appartenga a questi due insiemi contemporaneamente. In questo modo, l'insieme dei numeri irrazionali è complementare all'insieme dei numeri razionali all'interno dell'universo dei numeri reali.
Un altro modo per definire l'insieme dei numeri irrazionali è il seguente: I numeri irrazionali sono quelli che no si può scrivere in forma frazionaria. Sono loro:
1 - Decimali infiniti
2 – Radici non esatte
I decimali infiniti sono numeri che hanno posizioni decimali infinite e non sono decime periodiche. Per esempio:
0,12345678910111213...
π
√2
Set di numeri reali
Il set di numeri reali è formato da tutti i numeri sopra menzionati. La sua definizione è data dall'unione tra l'insieme dei numeri razionali e l'insieme dei numeri irrazionali. Rappresentato da R, questo insieme può essere scritto matematicamente come segue:
R = Q U I = {Q + I}
io è l'insieme dei numeri irrazionali. In questo modo, tutti i numeri sopra menzionati sono anche numeri reali.
Insieme di numeri complessi
Il set di numeri complessi nasce dall'esigenza di trovare radici non reali di equazioni di grado maggiore o uguale a 2. Quando si cerca di risolvere l'equazione x2 + 2x + 10 = 0, ad esempio, tramite la formula di Bhaskara, avremo:
X2 + 2x + 10 = 0
a = 1, b = 2 e c = 10
? = 22 – 4·1·10
? = 4 – 40
? = – 36
Che equazioni di secondo grado hanno? < 0 non hanno radici reali. Per trovare le loro radici, è stato creato l'insieme dei numeri complessi, in modo che √–36 = √36·(–1) = 6·√– 1 = 6i.
Gli elementi dell'insieme dei numeri complessi, rappresentati da C, sono definiti come segue:
z è un numero complesso se z = a + bi, dove aeb sono numeri reali e i = √– 1.
Relazione tra insiemi numerici
Alcuni insiemi numerici sono sottoinsiemi di altri. Alcune di queste relazioni sono state evidenziate in tutto il testo, tuttavia, tutte verranno spiegate di seguito:
1 – L'insieme dei numeri naturali è un sottoinsieme dell'insieme degli interi;
2 – L'insieme dei numeri interi è un sottoinsieme dell'insieme dei numeri razionali;
3 – L'insieme dei numeri razionali è un sottoinsieme dell'insieme dei numeri reali;
4 – L'insieme dei numeri irrazionali è un sottoinsieme dell'insieme dei numeri reali;
5 – L'insieme dei numeri irrazionali e l'insieme dei numeri razionali non hanno elementi in comune;
6 – L'insieme dei numeri reali è un sottoinsieme dell'insieme dei numeri complessi.
Indirettamente, è possibile stabilire altre relazioni. Si può dire, per esempio, che l'insieme dei numeri naturali è un sottoinsieme dell'insieme dei numeri complessi.
E' possibile leggere anche il contrario delle relazioni precedentemente citate e delle relazioni indirette che si possono costruire. Per farlo basta dire, ad esempio, che l'insieme degli interi contiene l'insieme dei numeri naturali.
Usando la simbologia della teoria degli insiemi, queste relazioni possono essere scritte come segue:
Di Luiz Paulo Moreira
Laureato in Matematica
Fonte: Scuola Brasile - https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-sao-conjuntos-numericos.htm