La motivazione per lo studio di operazioni tra insiemi deriva dalla facilità con cui riescono a risolvere i problemi numerici di tutti i giorni. Utilizzeremo alcuni strumenti grafici, come il diagramma di Venn-Eulero, per definire le operazioni principali tra due o più imposta, ovvero: unione di insiemi, intersezione di insiemi, differenza di insiemi e insieme complementare.
unione di insiemi
L'unione tra due o più insiemi sarà un nuovo insieme composto da elementi che appartengono ad almeno uno degli insiemi in questione. Formalmente l'insieme dell'unione è dato da:
Siano A e B due insiemi, l'unione tra loro è formata da elementi che appartengono all'insieme A o all'insieme B.
In altre parole, basta unire gli elementi di A con quelli di B.
Esempio:
a) Considera gli insiemi A = {0, 2, 4, 6, 8, 10} e B = {1, 3, 5, 7, 9, 11}:
A U B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}
b) A = {x | x è un numero pari naturale} e B {y | y è un numero dispari naturale}
L'unione di tutti i pari naturali e di tutti i dispari naturali risulta nell'intero insieme dei numeri naturali, quindi dobbiamo:
Intersezione di insiemi
Anche l'intersezione tra due o più insiemi sarà un nuovo insieme formato da elementi che appartengono, allo stesso tempo, a tutti gli insiemi coinvolti. Formalmente abbiamo:
Siano A e B due insiemi, l'intersezione tra loro è formata da elementi che appartengono all'insieme A e all'insieme B. Quindi, dobbiamo considerare solo gli elementi che sono in entrambi gli insiemi.
Esempio
a) Considera gli insiemi A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {0, 2, 4, 6, 8, 10} e C = {0, –1, –2, –3 }
A ∩ B = {2, 4, 6}
A ∩ C = { }
B ∩ C = {0}
L'insieme che non ha elementi si chiama a set vuoto e può essere rappresentato in due modi.
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differenza di insiemi
La differenza tra due insiemi, A e B, è data dagli elementi che appartengono ad A e no appartengono a B.
Nel diagramma di Venn-Eulero, la differenza tra gli insiemi A e B è:
Esempio
Considera gli insiemi A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, B = {0, 1, 2, 3, 4, 6, 7} e C = { }. Determiniamo le seguenti differenze.
A - B = {5}
A - C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
C - LA = { }
Nota che, nell'insieme A – B, inizialmente prendiamo l'insieme A e “tiriamo fuori” gli elementi dall'insieme B. Nell'insieme A – C, prendiamo la A e "tiriamo fuori" il vuoto, cioè nessun elemento. Infine, in C – A, prendiamo l'insieme vuoto e “tiriamo fuori” gli elementi da A, che, a loro volta, non c'erano più.
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Set complementari
Consideriamo gli insiemi A e B, dove l'insieme A è contenuto nell'insieme B, cioè ogni elemento di A è anche elemento di B. La differenza tra gli insiemi, B – A, si chiama complemento di A rispetto a B. In altre parole, il complementare è formato da ogni elemento che non appartiene all'insieme A rispetto all'insieme B, in cui è contenuto.
Esempio
Considera gli insiemi A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.
Il complemento di A rispetto a B è:
esercizi risolti
domanda 1 – Consideriamo gli insiemi A = {a, b, c, d, e, f} e B ={d, e, f, g, h, i}. Determinare (A – B) U (B – A).
Soluzione
Inizialmente determineremo gli insiemi A – B e B – A e poi eseguiremo l'unione tra di loro.
A – B = {a, b, c, d, e, f} – {d, e, f, g, h, i}
A - B = {a, b,c}
B – A = {d, e, f, g, h, i} – {a, b, c, d, e, f}
B - A = {g, h, i}
Pertanto, (A - B) U (B - A) è:
{a, b, c} U {g, h, io}
{a, b, c, g, h, io}
Domanda 2 – (Vunesp) Supponiamo che A U B = {a, b, c, d, e, f, g, h}, A ∩ B = {d, e} e A – B = {a, b, c}, allora:
a) B = {f, g, h}
b) B = {d, e, f, g, h}
c) B = { }
d) B = {d, e}
e) B = {a, b,c, d,e}
Soluzione
Alternativa B.
Disponendo gli elementi nel diagramma di Venn-Eulero, secondo l'enunciato, abbiamo:
Pertanto, l'insieme B = {d, e, f, g, h}.
di Robson Luiz
Insegnante di matematica
Fonte: Scuola Brasile - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/operacoes-com-conjuntos.htm