Operazioni insiemistiche: cosa sono e come si risolvono

La motivazione per lo studio di operazioni tra insiemi deriva dalla facilità con cui riescono a risolvere i problemi numerici di tutti i giorni. Utilizzeremo alcuni strumenti grafici, come il diagramma di Venn-Eulero, per definire le operazioni principali tra due o più imposta, ovvero: unione di insiemi, intersezione di insiemi, differenza di insiemi e insieme complementare.

unione di insiemi

L'unione tra due o più insiemi sarà un nuovo insieme composto da elementi che appartengono ad almeno uno degli insiemi in questione. Formalmente l'insieme dell'unione è dato da:

Siano A e B due insiemi, l'unione tra loro è formata da elementi che appartengono all'insieme A o all'insieme B.

In altre parole, basta unire gli elementi di A con quelli di B.

Esempio:

a) Considera gli insiemi A = {0, 2, 4, 6, 8, 10} e B = {1, 3, 5, 7, 9, 11}:

A U B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}

b) A = {x | x è un numero pari naturale} e B {y | y è un numero dispari naturale}

L'unione di tutti i pari naturali e di tutti i dispari naturali risulta nell'intero insieme dei numeri naturali, quindi dobbiamo:

Intersezione di insiemi

Anche l'intersezione tra due o più insiemi sarà un nuovo insieme formato da elementi che appartengono, allo stesso tempo, a tutti gli insiemi coinvolti. Formalmente abbiamo:

Siano A e B due insiemi, l'intersezione tra loro è formata da elementi che appartengono all'insieme A e all'insieme B. Quindi, dobbiamo considerare solo gli elementi che sono in entrambi gli insiemi.

Esempio

a) Considera gli insiemi A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {0, 2, 4, 6, 8, 10} e C = {0, –1, –2, –3 }

A ∩ B = {2, 4, 6}

A ∩ C = { }

B ∩ C = {0}

L'insieme che non ha elementi si chiama a set vuoto e può essere rappresentato in due modi.

Leggi anche: Definizione di set

differenza di insiemi

La differenza tra due insiemi, A e B, è data dagli elementi che appartengono ad A e no appartengono a B.

Nel diagramma di Venn-Eulero, la differenza tra gli insiemi A e B è:

Esempio

Considera gli insiemi A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, B = {0, 1, 2, 3, 4, 6, 7} e C = { }. Determiniamo le seguenti differenze.

A - B = {5}

A - C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

C - LA = { }

Nota che, nell'insieme A – B, inizialmente prendiamo l'insieme A e “tiriamo fuori” gli elementi dall'insieme B. Nell'insieme A – C, prendiamo la A e "tiriamo fuori" il vuoto, cioè nessun elemento. Infine, in C – A, prendiamo l'insieme vuoto e “tiriamo fuori” gli elementi da A, che, a loro volta, non c'erano più.

Leggi anche: Note importanti sugli insiemi

Set complementari

Consideriamo gli insiemi A e B, dove l'insieme A è contenuto nell'insieme B, cioè ogni elemento di A è anche elemento di B. La differenza tra gli insiemi, B – A, si chiama complemento di A rispetto a B. In altre parole, il complementare è formato da ogni elemento che non appartiene all'insieme A rispetto all'insieme B, in cui è contenuto.

Esempio

Considera gli insiemi A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.

Il complemento di A rispetto a B è:

esercizi risolti

domanda 1 – Consideriamo gli insiemi A = {a, b, c, d, e, f} e B ={d, e, f, g, h, i}. Determinare (A – B) U (B – A).

Soluzione

Inizialmente determineremo gli insiemi A – B e B – A e poi eseguiremo l'unione tra di loro.

A – B = {a, b, c, d, e, f} – {d, e, f, g, h, i}

A - B = {a, b,c}

B – A = {d, e, f, g, h, i} – {a, b, c, d, e, f}

B - A = {g, h, i}

Pertanto, (A - B) U (B - A) è:

{a, b, c} U {g, h, io}

{a, b, c, g, h, io}

Domanda 2 – (Vunesp) Supponiamo che A U B = {a, b, c, d, e, f, g, h}, A ∩ B = {d, e} e A – B = {a, b, c}, allora:

a) B = {f, g, h}

b) B = {d, e, f, g, h}

c) B = { }

d) B = {d, e}

e) B = {a, b,c, d,e}

Soluzione

Alternativa B.

Disponendo gli elementi nel diagramma di Venn-Eulero, secondo l'enunciato, abbiamo:

Pertanto, l'insieme B = {d, e, f, g, h}.

di Robson Luiz
Insegnante di matematica

Fonte: Scuola Brasile - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/operacoes-com-conjuntos.htm

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