Le equazioni trigonometriche sono uguaglianze che coinvolgono funzioni trigonometriche di archi sconosciuti. Risolvere queste equazioni è un processo unico che utilizza tecniche di riduzione a equazioni più semplici. Copriamo i concetti e le definizioni delle equazioni nella forma cosx = a.
Le equazioni trigonometriche nella forma cosx = α hanno soluzioni nell'intervallo –1 ≤ x ≤ 1. Determinare i valori di x che soddisfano questo tipo di equazione obbedirà alla seguente proprietà: Se due archi hanno coseni uguali, allora sono congruenti o complementari..
Sia x = α una soluzione dell'equazione cos x = α. Le altre possibili soluzioni sono archi congruenti all'arco α o all'arco – α (o all'arco 2π – α). Quindi: cos x = cos α. Notare la rappresentazione nel ciclo trigonometrico:
Abbiamo concluso che:
x = α + 2kπ, con k Є Z oppure x = – α + 2kπ, con k Є Z
Esempio 1
Risolvi l'equazione: cos x = √2/2.
Dalla tavola dei rapporti trigonometrici, √2/2 corrisponde ad un angolo di 45º. Poi:
cos x = √2/2 → cos x = π/4 (π/4 = 180º/4 = 45º)
Quindi, l'equazione cosx = √2/2 ha come soluzione tutti gli archi congruenti all'arco π/4 o –π/4 o anche 2π – π/4 = 7π/4. Notare l'illustrazione:
Concludiamo che le possibili soluzioni dell'equazione cos x = √2/2 sono:
x = π/4 + 2kπ, con k Є Z oppure x = – /4 + 2kπ, con k Є Z
Esempio 2
Risolvi l'equazione: cos 3x = cos x
Quando gli archi 3x e x sono congruenti:
3x = x + 2kπ
3x - x = 2kπ
2x = 2kπ
x = kπ
Quando gli archi 3x e x sono complementari:
3x = –x + 2kπ
3x + x = 2kπ
4x = 2kπ
x = 2kπ/4
x = kπ/2
La soluzione dell'equazione cos 3x = cos x è {x Є R / x = kπ oppure x = kπ/2, con k Є Z}.
di Mark Noah
Laureato in Matematica
Fonte: Scuola Brasile - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacoes-tipo-cos-x-a.htm
