Risolvere sistemilineare è un compito molto ricorrente per gli studi nei campi delle scienze naturali e della matematica. La ricerca di valori incogniti ha portato allo sviluppo di metodi per la risoluzione di sistemi lineari, come il metodo di addizione, uguaglianza e sostituzione per sistemi che hanno due equazioni e due incognitee la regola e la scala di Crammer, che risolvono sistemi lineari di due equazioni, ma che sono più convenienti per sistemi con più equazioni. Un sistema lineare è un insieme di due o più equazioni con una o più incognite.
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equazione lineare
Il lavoro con le equazioni esiste a causa del bisogno di trovare valori sconosciuti sconosciuti. La chiamiamo equazione quando abbiamo un'espressione algebrica con uguaglianza, ed è classificata come lineare quando il più grande esponente delle sue incognite è 1, come mostrato negli esempi seguenti:
2x + y = 7 → equazione lineare con due incognite
a + 4 = -3 → equazione lineare con un'incognita
In generale, un'equazione lineare può essere descritta da:
Il1X1 + il2X2 + a3x3... + anoXno = c
Sappiamo come un sistema di equazioni quando c'è più di un'equazione lineare. Inizieremo con sistemi lineari di due incognite.
Risolvere sistemi lineari
Sistemi lineari con due equazioni di 1° grado e due incognite
Per risolvere un sistema di due equazioni e due incognite, ce ne sono diversi metodi, i tre più noti sono:
- metodo di confronto
- metodo di addizione
- metodo di sostituzione
Ognuno dei tre può risolvere un sistema lineare di due equazioni e due incognite. Questi metodi non sono così efficienti per i sistemi con più equazioni, poiché esistono altri metodi specifici per risolverli.
Metodo di sostituzione
Il metodo di sostituzione consiste in isolare una delle incognite in una delle equazioni e eseguire la sostituzione nell'altra equazione.
Esempio:
1° passo: isolare uno degli incogniti.
Chiamiamo I la prima equazione e II la seconda equazione. Analizzando i due, diamo scegli l'ignoto che è più facile isolare. Nota che in equazione I → x + 2y = 5, x non ha coefficiente, il che rende più facile l'isolamento, quindi riscriveremo l'equazione che mi piace:
io → x + 2y = 5
io → x = 5 - 2y
2° passo: sostituire I in II.
Ora che abbiamo l'equazione I solo con x, nell'equazione II, possiamo sostituire x con 5 – 2y.
II → 3x – 5y = 4
Sostituendo x con 5 - 2y:
3 (5 - 2 anni) - 5 anni = 4
Ora che l'equazione ha una sola incognita, è possibile risolverla per trovare il valore di y.
Conoscendo il valore di y, troveremo il valore di x sostituendo il valore di y nell'equazione I.
io → x = 5 - 2y
x = 5 - 2 · 1
x = 5 - 2
x = 3
Quindi la soluzione del sistema è S = {3,1}.
Metodo di confronto
Il metodo di confronto consiste in isolare un'incognita nelle due equazioni ed equalizzare questi valori.
Esempio:
1° passo: sia I la prima equazione e II la seconda, isoliamo una delle incognite in I e II. Scegliendo di isolare l'incognita x, dobbiamo:
2° passo: uguagliare le due nuove equazioni, poiché x = x.
3° passo: sostituire il valore di y con -2 in una delle equazioni.
x = -4 - 3y
x = -4 - 3 (-2)
x = -4 + 6
x = 2
Quindi la soluzione di questo sistema è l'insieme S = {2,-2}.
Vedi anche: Quali sono le differenze tra funzione ed equazione?
metodo di addizione
Il metodo di addizione consiste nell'effettuare la moltiplicazione di tutti i termini di una delle equazioni, in modo tale che, quando aggiungendo l'equazione I all'equazione II, una delle sue incognite è uguale a zero.
Esempio:
1° passo: moltiplicare una delle equazioni in modo che i coefficienti siano opposti.
Nota che se moltiplichiamo l'equazione II per 2, abbiamo 4y nell'equazione II e -4y nell'equazione I, e che per aggiungiamo I + II, otteniamo 0y, quindi moltiplichiamo tutti i termini dell'equazione II per 2 in modo che questo accadere.
I → 5x – 4y = -5
2 · II → 2x + 4y = 26
2° passo: eseguire la somma I + 2 · II.
3° passo: sostituire il valore di x = 3 in una delle equazioni.
Sistemi lineari con tre equazioni di 1° grado e tre incognite
Quando il sistema ha tre incognite, adottiamo altri metodi di risoluzione. Tutti questi metodi mettono in relazione i coefficienti con le matrici e i metodi più utilizzati sono la regola di Crammer o lo scaling. Per la risoluzione in entrambi i metodi è necessaria la rappresentazione matriciale del sistema, compreso il sistema 2x2 rappresentabile mediante una matrice. Ci sono due possibili rappresentazioni, la matrice completa e la matrice incompleta:
Esempio:
Il sistema
Può essere rappresentato da matrice completa
E per matrice incompleta
Regola di Crammermmer
Per trovare soluzioni per un sistema 3x3, con incognite x, yez, usando il La regola di Crammer, è necessario calcolare il determinante della matrice incompleta e le sue variazioni. Quindi dobbiamo:
D → determinante della matrice incompleta del sistema.
DX → determinante della matrice incompleta del sistema, sostituendo la colonna di x con la colonna dei termini indipendenti.
Dsì → determinante della matrice incompleta del sistema, sostituendo la colonna di y con la colonna dei termini indipendenti.
Dz → determinante della matrice incompleta del sistema, sostituendo la colonna di z con la colonna dei termini indipendenti.
Quindi, per trovare il valore delle tue incognite, dobbiamo prima calcolare il determinante D, DX, Dsì associati al sistema.
Esempio:
1° passo: calcola D.
2° passo: calcolare DX.
3° passo: allora possiamo trovare il valore di x, perché:
4° passo: calcolare Dy.
5° passo: quindi possiamo calcolare il valore di y:
6° passo: ora che conosciamo il valore di xey, in entrambe le righe possiamo trovare il valore di z sostituendo il valore di xey e isolando z. Un'altra opzione è calcolare Dz.
Sostituendo x = 0 e y = 2 nella prima equazione:
2x + y - z = 3
2 · 0 + 2 – z = 3
0 + 2 - z = 3
-z = 3 - 2
-z = -1 (-1)
z = -1
Pertanto, la soluzione del sistema è la gara (0.2,-1).
Accedi anche a: Risoluzione di problemi con sistemi di equazioni
ridimensionamento
Un altro metodo per risolvere i sistemi lineari è lo scaling, in cui usiamo solo la matrice completa e le operazioni tra le linee per isolare le loro incognite. Ridimensioniamo il sistema di seguito.
1° passo: scrivere la matrice completa che rappresenta il sistema.
essere L1, L2 e io3 rispettivamente le righe 1, 2 e 3 della matrice, eseguiremo operazioni tra L1 e io2 e io1 e io3, in modo che il risultato renda uguali a zero i termini nella prima colonna della seconda e della terza riga.
Analizzando la seconda riga della matrice, sostituiamola con il risultato di L2 → -2 · L1 + L2, in modo da azzerare il termine a21.
Il21 = -2 · 1 + 2 = 0
Il22 = -2 · 2 + 1 = -3
Il23 = -2 · (-3) + 1 = 7
Il24 =-2 · 10 + 3 = -17
Quindi il L2 sarà 0 -3 7 -17.
Analizzando la terza riga della matrice, sostituiamola con il risultato di L3 → 3L1 + L2, per reimpostare il termine a31.
Il31 = 3 · 1 – 3 = 0
Il32 = 3 · 2 + 2 = 8
Il33 = 3 · (-3) +1 = -8
Il34 = 3 · 10 – 6 = 24
Quindi il L3 sarà 0 8 -8 24.
Nota che tutti sono divisibili per 8, in modo che la linea L3 rendilo più semplice, dividiamolo per 8.
l3 → L3 : 8 sarà: 0 1-1 3.
Quindi la nuova matrice dell'equazione scalata sarà:
Ora l'obiettivo è ripristinare la colonna y nella terza riga, eseguiremo operazioni tra L2 e io3, con l'obiettivo di azzerare la seconda colonna di una di esse.
Sostituiremo L3 con L3 → L2 + 3L3.
Il31 = 0 + 3 · 0 = 0
Il32 = -3 + 3 · 1 = 0
Il33 = 7 + 3 · (-1) = 4
Il34 = -17 + 3 · 3 = -8
quindi L3 sarà: 0 0 4 -8.
La nuova matrice scalata sarà:
Ora, quando rappresentiamo nuovamente questa matrice come un sistema, aggiungendo x, yez alle colonne, troveremo quanto segue:
Possiamo quindi trovare il valore di ciascuna delle incognite. Analizzando l'equazione III, dobbiamo:
Se z = -2, sostituiamo il valore di z nella seconda equazione:
Infine, nella prima equazione, sostituiamo il valore di yez per trovare il valore di x.
Vedi anche: Sistema di diseguaglianze di 1° grado: come risolverlo?
classificazione del sistema lineare
Un sistema lineare è un insieme di equazioni lineari, che può avere diverse incognite e diverse equazioni. Esistono diversi metodi per risolverlo, indipendentemente dal numero di equazioni. ce ne sono tre giudizi per un sistema lineare.
- Sistema possibile determinato (SPD): quando hai un'unica soluzione
- Sistema possibile indeterminato (SPI): quando ha infinite soluzioni.
- sistema impossibile(SI): quando non c'è soluzione.
esercizi risolti
domanda 1 (IFG 2019) Si consideri la somma delle misure di una base e l'altezza relativa a quella base di un triangolo pari a 168 cm e la differenza pari a 24 cm. È corretto affermare che le misure della base e dell'altezza relative a tale base misurano rispettivamente:
a) 72 cm e 96 cm
b) 144 cm e 24 cm
c) 96 cm e 72 cm
d) 24 cm e 144 cm
Risoluzione
Alternativa C.
Sia h → altezza e b → base, quindi abbiamo il seguente sistema:
Con il metodo di addizione, dobbiamo:
Per trovare il valore di h, sostituiamo b = 96 cm nella prima equazione:
b + h = 168
96 + h = 168
h = 168 - 96
h = 72 cm
Domanda 2 La matrice incompleta che rappresenta il seguente sistema lineare è:
Risoluzione
Alternativa C.
La matrice incompleta è quella che ha i coefficienti di x, yez, quindi sarà una matrice 3x3. Analizzando le alternative, quella che contiene la matrice 3x3 con i segni corretti è la lettera C.
Di Raul Rodrigues de Oliveira
Insegnante di matematica
Fonte: Scuola Brasile - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/sistemas-lineares.htm