IL mmoltiplicazione matriciale avviene attraverso un algoritmo che richiede molta attenzione. Affinché esista il prodotto tra la matrice A e la matrice B, è necessario che il numero di colonne dà primo Sede centrale, nel caso A, è uguale al numero di Linee dà Lunedi Sede centrale, nel caso B.
Dalla moltiplicazione tra matrici è possibile capire qual è la matrice identità, che è la elemento neutro della moltiplicazione matriciale, e qual è la matrice inversa della matrice M, che è matrice M-1 il cui prodotto di M per M-1 è uguale alla matrice identità. È anche possibile moltiplicare una matrice per un numero reale: in questo caso, moltiplichiamo ciascuno dei termini del Sede centrale per numero.
Leggi anche: Cos'è una matrice triangolare?
condizione di esistenza
Per moltiplicare due matrici occorre prima verificarne la condizione di esistenza. Perché il prodotto esista, il numero di colonne nella prima matrice deve essere uguale al numero di righe nella seconda matrice.
Inoltre, il risultato della moltiplicazione è una matrice che ha lo stesso numero di righe della prima matrice e lo stesso numero di colonne della seconda matrice.Ad esempio, il prodotto AB tra le matrici A3x2 e B2x5 esiste perché il numero di colonne in A (2 colonne) è uguale al numero di righe in B (2 righe) e il risultato è la matrice AB3x5. Già prodotto tra matrici C3x5 e matrice D2x5 non esiste, poiché C ha 5 colonne e D ha 3 righe.
Come calcolare il prodotto tra due matrici?
Per eseguire la moltiplicazione matriciale, è necessario seguire alcuni passaggi. Faremo un esempio della moltiplicazione di una matrice algebrica A2x3 per matrice B3x2
Sappiamo che il prodotto esiste, perché la matrice A ha 3 colonne e la matrice B 3 righe. Chiameremo C il risultato della moltiplicazione A·B. Inoltre, sappiamo anche che il risultato è una matrice C.2x2, perché la matrice A ha 2 righe e la matrice B 2 colonne.
Per calcolare il prodotto della matrice A2x3 e matrice B3X2, seguiamo alcuni passaggi.
Per prima cosa troveremo ciascuno dei termini della matrice C2x2:
Per trovare i termini, diamo associare sempre le righe della matrice A alle colonne della matrice B:
ç11 → 1a linea di A e 1a colonna di B
ç12 → 1a linea di A e 2a colonna di B
ç21 → 2a linea di A e 1a colonna di B
ç22 → 2a linea di A e 2a colonna di B
Calcoliamo ciascuno dei termini moltiplicando i termini nella riga di A e i termini nella colonna di B. Ora dobbiamo aggiungere questi prodotti, iniziando con ç11:
1a linea di A
1a colonna di B
ç11 = Il11·B11 + Il12·B21+ Il13·B31
calcolando ç12:
1a linea di A
2a colonna di B
ç12 = Il11·B12 + Il12·B22+Il13·B32
calcolando ç21:
2a linea di A
1a colonna di B
ç21 = Il21·B11 + Il22·B21+Il23·B31
calcolando il termine ç22:
2a linea di A
2a colonna di B
ç22 = Il21·B12 + Il22·B22+Il23·B32
Pertanto, la matrice C è formata dai termini:
Esempio:
Calcoliamo la moltiplicazione tra le matrici A e B.
Sappiamo che in A2x2 e B2x3, il numero di colonne nella prima è uguale al numero di righe nella seconda, quindi il prodotto esiste. Quindi faremo C = A· B e sappiamo che C2x3.
Moltiplicando dobbiamo:
Vedi anche: Cos'è una matrice trasposta?
matrice identità
Nella moltiplicazione tra matrici ci sono alcuni casi particolari, come ad esempio la matrice identità, che è l'elemento neutro di moltiplicazione tra matrici.. La matrice identità è una matrice quadrata, ovvero il numero di righe è sempre uguale al numero di colonne. Inoltre, solo i termini della diagonale sono uguali a 1 in essa, e gli altri termini sono tutti uguali a zero. Quando moltiplichiamo una matrice M per la matrice identità Ino, Dobbiamo:
M · iono = M
Esempio:
Cos'è la matrice inversa?
Data una matrice M, la conosciamo come matrice inversa di M. la matrice M-1il cui prodotto M · M-1 è uguale a à matrice identità Ino. Affinché una matrice abbia un'inversa, deve essere quadrata e il suo determinante deve essere diverso da 0. Diamo un'occhiata ad esempi di matrici che sono inverse:
Calcolando il prodotto A·B, dobbiamo:
Nota che il prodotto tra A e B generata matrice I2. Quando ciò accade, diciamo che B è la matrice inversa di A. Per saperne di più su questo tipo di matrice, leggi: matrice inversa.
Moltiplicazione matriciale per un numero reale
A differenza della moltiplicazione tra matrici, esiste anche la moltiplicazione matriciale per uno numero reale, che è un'operazione molto più semplice per trovare la soluzione.
Data una matrice M, moltiplicando la matrice per un numero reale K è uguale alla matrice Km. Per trovare questa matrice KM, basta moltiplicare tutti i termini della matrice per la costante K.
Esempio:
Se K = 5 e considerando la matrice M sottostante, trova la matrice 5M.
Moltiplicando:
esercizi risolti
Domanda 1 - (Unitau) Date le matrici A e B,
il valore dell'elemento c11 della matrice C = AB è:
A) 10.
B) 28.
C) 38.
D) 18.
E) 8.
Risoluzione
Alternativa A.
Come vogliamo il termine c11, moltiplichiamo i termini della prima riga e A con i termini della prima colonna di B.
calcolando c11 = 1 · 3 + 2 · 2 + 3 · 1 = 3 + 4 + 3 = 10
Domanda 2 - (Enem 2012) Uno studente ha registrato in una tabella i voti bimestrali di alcune sue materie. Notò che le voci numeriche nella tabella formavano una matrice 4×4 e che poteva calcolare le medie annuali per queste discipline usando il prodotto delle matrici. Tutti i test avevano lo stesso peso e la tabella che ha ottenuto è mostrata di seguito.
Per ottenere queste medie, ha moltiplicato la matrice ottenuta dalla tabella per la matrice:
Risoluzione
Alternativa E.
La media non è altro che la somma degli elementi divisa per il numero degli elementi. Nota che ci sono 4 note per riga, quindi la media sarebbe la somma di quelle note divisa per 4. Dividere per 4 equivale a moltiplicare per frazione ¼. Inoltre, la matrice dei voti è una matrice 4x4, quindi dobbiamo moltiplicare per una matrice 4x1, cioè ha 4 righe e 1 colonna, per trovare la matrice che ha la media dei voti.
Di Raul Rodrigues de Oliveira
Insegnante di matematica
Fonte: Scuola Brasile - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/multiplicacao-matrizes.htm