Somma dei termini di una progressione aritmetica

Uno progressione aritmetica (PA) è un sequenza numerico in cui ogni termine è la somma del precedente per una costante, detta rapporto. Loro esistono espressioni matematiche determinare il termine di una PA e calcolarne la somma no primi termini.

La formula utilizzata per calcolare il somma di termini di una PA finita o la somma dei no primi termini di una PA è il seguente:

S_no = a₁ + il_no)
2

*n è il numero di termini BP; Il₁ è il primo termine, e il_no è l'ultimo.

Origine della somma dei termini della PA

Si dice che il matematico tedesco Carl Friederich Gauss, all'età di circa 10 anni, sia stato punito con la sua classe a scuola. L'insegnante ha detto agli studenti di sommare tutti i numeri che compaiono nel sequenza da 1 a 100.

Gauss non è stato solo il primo a concludere in brevissimo tempo, è stato anche l'unico ad ottenere il risultato giusto (5050). Inoltre, non ha mostrato alcun calcolo. Quello che ha fatto è stato riparare la seguente proprietà:

La somma di due termini equidistanti dagli estremi di una PA finita è uguale alla somma degli estremi.

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Non c'era alcuna conoscenza su PADELLA all'epoca, ma Gauss ha visionato l'elenco dei numeri e si è reso conto che sommando il primo all'ultimo si sarebbe ottenuto 101; sommando il secondo al penultimo, il risultato sarebbe anche 101 e così via. Come la somma di tutte le coppie di termini equidistante degli estremi è arrivato a 101, Gauss ha dovuto solo moltiplicare quel numero per la metà dei termini disponibili per trovare il risultato 5050.

Nota che dal numero 1 al numero 100, ci sono esattamente 100 numeri. Gauss si rese conto che se li avesse sommati a due a due, avrebbe ottenuto 50 risultati pari a 101. Pertanto, questa moltiplicazione è stata eseguita per la metà dei termini totali.

Dimostrazione della somma dei termini di una PA

Questa impresa ha dato origine all'espressione utilizzata per calcolare il somma di no primi termini di un PA. La tattica utilizzata per arrivare a questa espressione è la seguente:

dato uno PADELLA any, ne aggiungeremo i primi n termini. Matematicamente avremo:

S_no = il₁ + il₂ + il₃ + … + il_{n – 2} + il_{n - 1} + il_no

Appena sotto questo somma di termini, ne scriveremo un altro, con gli stessi termini del precedente, ma in senso decrescente. Nota che la somma dei termini del primo è uguale alla somma dei termini del secondo. Pertanto, entrambi sono stati equiparati a S_no.

S_no = il₁ + il₂ + il₃ + … + il_{n – 2} + il_{n - 1} + il_no

S_no = il_no + il_{n - 1} + il_{n – 2} + … + il₃ + il₂ + il₁

Si noti che queste due espressioni sono state ottenute da un singolo PADELLA e che i termini equidistanti siano allineati verticalmente. Pertanto, possiamo aggiungere le espressioni per ottenere:

S_no = il₁ + il₂ + il₃ + … + il_{n – 2} + il_{n - 1} + il_no

+ S_no = il_no + il_{n - 1} + il_{n – 2} + … + il₃ + il₂ + il₁

2S_no = (il₁ + il_no) + (a₂ + il_{n - 1}) + … + (a_{n - 1} + il₂) + (a_no + il₁)

Ricorda che la somma dei termini equidistanti dagli estremi è uguale alla somma degli estremi. Pertanto, ogni parentesi può essere sostituita dalla somma degli estremi, come faremo di seguito:

2S_no = (il₁ + il_no) + (a₁ + il_no) +... + (il₁ + il_no) + (a₁ + il_no)

L'idea di Gauss era di aggiungere i termini equidistanti di una sequenza. Quindi ha ottenuto metà della quantità di termini da PADELLA nei risultati 101. Abbiamo fatto in modo che ogni termine della BP iniziale fosse aggiunto al suo valore equidistante, preservando il suo numero di termini. Quindi, poiché la PA aveva n termini, possiamo cambiare la somma, nell'espressione sopra, con una moltiplicazione e risolvere il equazione trovare:

2S_no = (il₁ + il_no) + (a₁ + il_no) +... + (il₁ + il_no) + (a₁ + il_no)

2S_no = n (a₁ + il_no)

S_no = a₁ + il_no)
2

Questa è esattamente la formula usata per aggiungere il no primi termini di una PA.

Esempio

Dato P.A (1, 2, 3, 4), determina la somma dei suoi primi 100 termini.

Soluzione:

Dovremo trovare il termine a₁₀₀. Per questo, useremo il formula del termine generale di una PA:

Il_no = il₁ + (n – 1)r

Il₁₀₀ = 1 + (100 – 1)1

Il₁₀₀ = 1 + 99

Il₁₀₀ = 100