Razionalizzazione dei denominatori: come si fa?

Razionalizzazione dei denominatori è la tecnica utilizzata quando a frazione ha un numero irrazionale al denominatore e si desidera trovare una seconda frazione equivalente alla prima frazione, ma che non abbia un numero irrazionale al denominatore. Per fare ciò, è necessario eseguire operazioni matematiche per riscrivere la frazione in modo che non abbia una radice inesatta al denominatore.

Leggi anche: Come risolvere le operazioni con le frazioni?

Come razionalizzare i denominatori?

Inizieremo con il caso più semplice di razionalizzazione dei denominatori e passeremo al più complesso, ma la tecnica stessa consiste nel cercare un frazione equivalente moltiplicando numeratore e denominatore per un numero conveniente che permette di eliminare la radice del denominatore della frazione. Vedi come farlo in diverse situazioni di seguito.

Razionalizzazione quando c'è una radice quadrata al denominatore

Ci sono alcune frazioni che possono essere rappresentate con numeri irrazionali nei denominatori. Vedi alcuni esempi:

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Quando il denominatore della frazione è irrazionale, utilizziamo alcune tecniche per trasformarlo in un denominatore razionale, come la razionalizzazione. quando c'è un radice quadrata al denominatore possiamo dividere in due casi. Il primo è quando la frazione ha una sola radice nel suo radicale.

Esempio 1:

Per razionalizzare questo denominatore, troviamo la frazione equivalente a questa, ma che non ha un denominatore irrazionale. Per questo, diamo moltiplicare numeratore e denominatore per lo stesso numero — in questo caso sarà esattamente il denominatore della frazione, cioè √3.

A moltiplicazione di frazioni, moltiplichiamo dritto. Sappiamo che 1 · √3 = √3. Al denominatore abbiamo che √3 ·√3 = √9 = 3. Con ciò, arriviamo a quanto segue:

Abbiamo quindi una rappresentazione della frazione il cui denominatore non è un numero irrazionale.

Esempio 2:

Il secondo caso è quando c'è un addizione o differenza tra una radice inesatta.

Quando c'è una differenza o un'aggiunta di termini al denominatore, uno dei quali è la radice non esatta, moltiplichiamo numeratore e denominatore per il coniugato del denominatore. Chiamiamo il coniugato di 2 – 1 l'inverso del secondo numero, cioè √2 + 1.

Eseguendo la moltiplicazione al numeratore, dobbiamo:

3(√2 + 1) = 3√2 +3

Il denominatore è il prodotto notevole conosciuto come prodotto della somma per differenza. Il suo risultato è sempre il quadrato del primo termine meno il quadrato del secondo termine.

(√2 – 1)(√2 + 1) = √2² – 1²

(√2 – 1)(√2 + 1) = √4 – 1²

(√2 – 1)(√2 + 1) = 2 – 1

(√2 – 1)(√2 + 1) = 1

Quindi, razionalizzando il denominatore di questa frazione, dobbiamo:

Vedi anche: Tre errori comuni nella semplificazione delle frazioni algebriche

Razionalizzazione quando c'è una radice indice maggiore di 2

Vediamo ora alcuni esempi in cui al denominatore c'è una radice di indici maggiore di 2.

Poiché l'obiettivo è eliminare il radicale, moltiplichiamo il denominatore in modo che la radice di quel denominatore possa essere annullata.

Esempio 1:

In questo caso, per eliminare l'esponente del radicale, facciamo moltiplicare per la radice cubica di 2² al numeratore e al denominatore, in modo che appaia all'interno del radicale 2³ e, quindi, è possibile cancellare la radice cubica.

Eseguendo la moltiplicazione dobbiamo:

Esempio 2:

Usando lo stesso ragionamento, moltiplichiamo denominatore e numeratore per un numero che fa sì che potenza dal denominatore all'indice, cioè moltiplicare per radice quinta di 3 cubi in modo da poter cancellare il denominatore.

Leggi anche: Come semplificare le frazioni algebriche?

esercizi risolti

domanda 1 – Razionalizzando il denominatore della frazione sottostante, troviamo:

A) 1 + √3.
B) 2(1 + √3).
C) – 2(1+ √3).
D) √3.
E) √3 –1.

Risoluzione

Alternativa C.

Domanda 2 - (IFCE 2017 — adattato) Approssimando i valori di √5 e √3 alla seconda cifra decimale, otteniamo rispettivamente 2,23 e 1,73. Approssimativamente, il valore della seguente espressione numerica alla seconda cifra decimale è: