Al operazioni con gli insiemi sono unione, intersezione e differenza. Il risultato di ciascuna di queste operazioni è un nuovo insieme. Per indicare l'unione tra insiemi utilizziamo il simbolo ∪; per l'intersezione, il simbolo ∩; e per la differenza, il simbolo di sottrazione\(-\). In caso di differenza è essenziale rispettare l'ordine in cui verrà eseguita l'operazione. In altre parole, se A e B sono insiemi, allora la differenza tra A e B è diversa dalla differenza tra B e A.
Leggi anche: Diagramma di Venn: rappresentazione geometrica di insiemi e operazioni tra di loro
Riepilogo delle operazioni con gli insiemi
Le operazioni con gli insiemi sono: unione, intersezione e differenza.
L'unione (o incontro) degli insiemi A e B è l'insieme A ∪ B, formato dagli elementi che appartengono ad A o appartengono a B.
\(A∪B=\{x; x∈A\ o\ x∈B\}\)
L'intersezione degli insiemi A e B è l'insieme A ∩ B, formato dagli elementi che appartengono ad A e appartengono a B.
\(A∩B=\{x; x∈A\ e\ x∈B\}\)
La differenza tra gli insiemi A e B è l’insieme A – B, formato dagli elementi che appartengono ad A e non appartengono a B.
\(A-B =\{x; x∈A\ e\ x ∉B\}\)
Se U (noto come insieme dell’universo) è un insieme che contiene tutti gli insiemi in un dato contesto, allora la differenza U – A, con A ⊂ U, è chiamata complemento di A. Il complemento di A è formato da elementi che non appartengono ad A ed è rappresentato da UNw.
\(A^c=U-A=\{x; x∉A\}\)
Video lezione sulle operazioni con i set
Quali sono le tre operazioni con gli insiemi?
Le tre operazioni con set sono: unione, intersezione e differenza.
Unione di insiemi
L'unione (o incontro) degli insiemi A e B è l'insieme A ∪ B (leggi “L'unione B”). Questo insieme è formato da tutti gli elementi che appartengono all'insieme A O appartengono all'insieme B, cioè il elementi che appartengono ad almeno uno degli insiemi.
Rappresentando gli elementi di A ∪ B con x, scriviamo
\(A∪B=\{x; x∈A\ o\ x∈B\}\)
Nell'immagine qui sotto, la regione arancione è la impostato UN ∪B.
Sembra difficile? Facciamo due esempi!
Esempio 1:
Qual è l'insieme A ∪ B, se A = {7, 8} e B = {12, 15}?
L'insieme A ∪ B è formato dagli elementi che appartengono ad A O appartenere a B. Poiché gli elementi 7 e 8 appartengono all'insieme A, allora entrambi devono appartenere all'insieme A ∪ B. Inoltre, poiché gli elementi 12 e 15 appartengono all'insieme B, allora entrambi devono appartenere all'insieme A ∪ B.
Perciò,
A ∪ B={7, 8, 12, 15}
Nota che ciascuno degli elementi di A∪B appartiene all'insieme A o all'insieme B.
Esempio 2:
Considera gli insiemi A = {2, 5, 9} e B = {1, 9}. Qual è l'insieme A ∪ B?
Poiché gli elementi 2, 5 e 9 appartengono all'insieme A, allora devono appartenere tutti all'insieme A∪B. Inoltre, poiché gli elementi 1 e 9 appartengono all'insieme B, allora devono appartenere tutti all'insieme A ∪ B.
Nota che abbiamo menzionato 9 due volte, poiché questo elemento appartiene all'insieme A e all'insieme B. Dicendo che “l’insieme A ∪ B è formato dagli elementi che appartengono ad A O appartengono a B” non esclude elementi che appartengono contemporaneamente agli insiemi A e B.
Quindi, in questo esempio, abbiamo
A ∪ B={1, 2, 5, 9}
Nota che scriviamo l'elemento 9 solo una volta.
Intersezione di insiemi
L'intersezione degli insiemi A e B è l'insieme A ∩ B (leggi “L'intersezione B”). Questo insieme è formato da tutti gli elementi che appartengono all'insieme A È appartengono all'insieme B. In altre parole, A ∩ B è composto dagli elementi comuni degli insiemi A e B.
Indicando gli elementi di A ∩ B con x, scriviamo
\(A∩B=\{x; x∈A\ e\ x∈B\}\)
Nell'immagine qui sotto, la regione arancione è la impostato UN ∩B.
Risolviamo due esempi sull'intersezione degli insiemi!
Esempio 1:
Considera A = {-1, 6, 13} e B = {0, 1, 6, 13}. Qual è l'insieme A ∩ B?
L'insieme A ∩ B è formato da tutti gli elementi che appartengono all'insieme A È appartengono all'insieme B. Si noti che gli elementi 6 e 13 appartengono contemporaneamente agli insiemi A e B.
Come questo,
A ∩ B={6, 13}
Esempio 2:
Qual è l'intersezione tra gli insiemi A = {0,4} e \(B={-3,\frac{1}2,5,16,44}\)?
Si noti che non esiste alcun elemento in comune tra gli insiemi A e B. Pertanto l'intersezione è un insieme senza elementi, cioè un insieme vuoto.
Perciò,
\(\)A∩ B={ } = ∅
Differenza tra insiemi
La differenza tra gli insiemi A e B è l’insieme A – B (leggi “differenza tra A e B”). Questo set è composto da tutti gli elementi che appartengono all'insieme A e non appartengono all'insieme B.
Rappresentando gli elementi di A – B con x, scriviamo
\(A-B=\{x; x∈A\ e\ x∉B\}\)
Nell'immagine qui sotto, la regione arancione è la setA – B.
Attenzione: la differenza tra gli insiemi A e B non è la differenza tra gli insiemi B e A, perché B – A è formato da tutti gli elementi che appartengono all'insieme B e non appartengono all'insieme A.
Considera i due esempi seguenti sulla differenza tra insiemi.
Esempio 1:
Se A = {-7, 2, 100} e B = {2, 50}, qual è l'insieme A – B? E che dire dell'insieme B – A?
Il setAB è formato da tutti gli elementi che appartengono all'insieme A ÈNO appartengono all'insieme B. Si noti che 2 è l'unico elemento dell'insieme A che appartiene anche all'insieme B. Quindi 2 non appartiene all’insieme A – B.
Perciò,
A – B = {-7, 100}
Inoltre l’insieme B – A è formato da tutti gli elementi che appartengono all’insieme B ÈNO appartengono all'insieme A. Perciò,
B – A = {50}
Esempio 2:
Qual è la differenza tra l'insieme A = {–4, 0} e l'insieme B = {–3}?
Notiamo che nessuno degli elementi di A appartiene a B. Pertanto, la differenza A – B è l’insieme A stesso.
\(A - B = \{-4.0\} = A\)
Osservazione: Considera che U (chiamato insieme dell'universo) è un insieme che contiene tutti gli altri insiemi in una data situazione. Come questo, la differenza U-A, con UN⊂U, è un insieme detto complementare ad A e ritratto come \(AVANTI CRISTO\).
\(A^c=U-A=\{x; x∉A\}\)
Nell'immagine seguente, il rettangolo è l'insieme dell'universo e la regione arancione è l'insieme dell'universo \(AVANTI CRISTO\).
Per saperne di più: Passo dopo passo come eseguire una divisione
Esercizi risolti sulle operazioni sugli insiemi
Domanda 1
Considera gli insiemi A = {–12, –5, 3} e B = {–10, 0, 3, 7} e classifica ciascuna affermazione seguente come T (vero) o F (falso).
IO. A ∪ B = {–12, –10, –5, 3, 7}
II. A ∩ B = {3}
III. A – B = {–12, –5}
L'ordine corretto, dall'alto al basso, è
A) V-V-V
B) F-V-V
C) V-F-V
D) F-F-V
E) F-FF-F
Risoluzione
IO. Falso.
L'elemento 0 deve appartenere all'unione di A e B, poiché 0 ∈ B. Quindi A ∪ B = {–12, –10, –5, 0, 3, 7}
II. VERO.
III. VERO.
Alternativa B.
Domanda 2
Considera A = {4, 5}, B = {6,7} e C = {7,8}. Allora l'insieme A ∪ B ∩ C è
R) {7}.
B) {8}.
C) {7, 8}.
D) {6,7,8}.
E) {4, 5, 6, 7, 8}.
Risoluzione
Nota che A ∪ B = {4, 5, 6, 7}. Pertanto l'insieme A ∪ B ∩ C è l'intersezione tra A ∪ B = {4, 5, 6, 7} e C = {7,8}. Presto,
A ∪ B ∩ C = {7}
Alternativa A.
Fonti
LIMA, Elon L.. Corso di analisi. 7 ed. Rio de Janeiro: IMPA, 1992. v.1.
LIMA, Elon L. et al. Matematica delle scuole superiori. 11. ed. Collezione per insegnanti di matematica. Rio de Janeiro: SBM, 2016. v.1.
