Esercitati sulle equazioni della retta con gli esercizi risolti e commentati, chiarisci i tuoi dubbi e preparati alle valutazioni e agli esami di ammissione.
Le equazioni delle linee appartengono all'area della matematica chiamata geometria analitica. Questo campo di studio descrive punti, linee e forme nel piano e nello spazio, attraverso equazioni e relazioni.
La pendenza della retta passante per i punti A (0,2) e B (2,0) è
a) -2
b) -1
c) 0
d) 2
e) 3
Calcola il valore di t, sapendo che i punti A (0, 1), B (3, t) e C (2, 1) sono collineari.
a 1
b)2
c) 3
d) 4
e) 5
La condizione di allineamento a tre punti dice che il determinante della matrice è uguale a zero.
Per la regola di Sarrus:
0.t.1 + 1.1.2 + 1.3.1 - (2.t.1 + 1.1.0 + 1.3.1) = 0
0 + 2 + 3 - (2t + 0 + 3) = 0
5 - 2t - 3 = 0
2 = 2 t
t = 1
I coefficienti, angolare e lineare, della retta x - y + 2 = 0 sono, rispettivamente,
a) Coefficiente angolare = 2 e coefficiente lineare = 2
b) Coefficiente angolare = -1 e coefficiente lineare = 2
c) Coefficiente angolare = -1 e coefficiente lineare = -2
d) Coefficiente angolare = 1 e coefficiente lineare = 2
e) Coefficiente angolare = 2 e coefficiente lineare = 2
Scrivendo l’equazione in forma ridotta, abbiamo:
La pendenza è il numero che moltiplica x, quindi è 1.
Il coefficiente lineare è il termine indipendente, quindi è 2.
Ottieni l'equazione della linea che ha il grafico sottostante.
a) x + y - 6 = 0
b) 3x + 2y - 3 = 0
c) 2x + 3y - 2 = 0
d) x + y - 3 = 0
e) 2x + 3y - 6 = 0
I punti in cui la linea taglia gli assi sono (0, 2) e (3, 0).
Utilizzando la forma parametrica:
Poiché le opzioni di risposta sono in forma generale, dobbiamo eseguire la somma.
Calcola il minimo comune multiplo per eguagliare i denominatori.
MMC(3, 2) = 6
Trova le coordinate del punto di intersezione tra la retta r: x + y - 3 = 0 e la retta passante per i punti A(2, 3) e B(1, 2).
a) (3, 2)
b) (2, 2)
c) (1, 3)
d) (2, 1)
e) (3, 1)
Determina la retta che passa per i punti A e B.
Calcolo del coefficiente angolare:
Quindi la linea è:
Il punto di intersezione è la soluzione del sistema:
Sommando le equazioni:
Sostituendo nella prima equazione:
Quindi le coordinate del punto in cui le linee si intersecano sono (2, 1)
(PUC - RS) La retta r dell'equazione y = ax + b passa per il punto (0, –1), e, per ogni unità di variazione di x, si ha una variazione di y, nella stessa direzione, di 7 unità. La tua equazione è
a) y = 7x – 1.
b) y = 7x + 1.
c) y = x – 7.
d) y = x + 7.
e) y = –7x – 1.
Una variazione di 1 in x provoca una variazione di 7 in y. Questa è la definizione di pendenza. Pertanto l’equazione deve avere la forma:
y = 7x + b
Poiché il punto (0, -1) appartiene alla retta, possiamo sostituirlo nell'equazione.
In questo modo l'equazione è:
(IF-RS 2017) L'equazione della retta che passa per i punti A(0,2) e B(2, -2) è
a) y = 2x + 2
b) y = -2x -2
c) y = x
d) y = -x +2
e) y = -2x + 2
Utilizzando l'equazione ridotta e le coordinate del punto A:
Utilizzando le coordinate del punto B e sostituendo il valore di b = 2:
Impostazione dell'equazione:
(UNEMAT 2017) Sia r una retta con equazione r: 3x + 2y = 20. Una linea s lo interseca nel punto (2,7). Sapendo che r e s sono perpendicolari tra loro, qual è l'equazione della retta s?
a) 2x − 3y = −17
b) 2x − 3y = −10
c) 3x + 2y = 17
d) 2x − 3y = 10
e) 2x + 3y = 10
Poiché le rette sono perpendicolari, le loro pendenze sono:
Per determinare la pendenza di r, cambiamo l'equazione dalla forma generale a quella ridotta.
La pendenza è il numero che moltiplica la x, essendo -3/2.
Trovare il coefficiente della retta s:
Poiché le linee si intersecano nel punto (2, 7), sostituiamo questi valori nell'equazione della linea s.
Impostando l'equazione ridotta della retta s:
Poiché le scelte di risposta sono in forma generale, dobbiamo convertirle.
(Enem 2011) Un programmatore visivo vuole modificare un'immagine, aumentandone la lunghezza e mantenendone la larghezza. Le figure 1 e 2 rappresentano, rispettivamente, l'immagine originale e quella trasformata raddoppiando la lunghezza.
Per modellare tutte le possibilità di trasformazione nella lunghezza di questa immagine, il programmatore deve scoprire il schemi di tutte le linee che contengono i segmenti che delineano gli occhi, il naso e la bocca per poi elaborarli programma.
Nell'esempio precedente, il segmento A1B1 della figura 1, contenuto nella linea r1, è diventato il segmento A2B2 della figura 2, contenuto nella linea r2.
Supponiamo che, mantenendo costante la larghezza dell'immagine, la sua lunghezza venga moltiplicata per n, dove n è un numero intero e positivo, e che, in questo modo, la linea r1 subisca le stesse trasformazioni. In queste condizioni il segmento AnBn sarà contenuto nella linea rn .
L'equazione algebrica che descrive rn, nel piano cartesiano, è
a) x + ny = 3n.
b) x - ny = - n.
c) x - ny = 3n.
d) nx + ny = 3n.
e) nx + 2ny = 6n.
Trovare la linea r1 nella figura originale:
Il suo coefficiente angolare è:
La linea taglia l'asse y nel punto (0, 3), quindi la sua equazione è:
Trovare la linea r2 nella figura modificata:
Il suo coefficiente angolare è:
La linea taglia anche l'asse y nel punto (0, 3), quindi la sua equazione è:
Dall'equazione della figura originale a quella modificata, il coefficiente di y e il termine indipendente sono stati moltiplicati per 2.
Quindi, per altre proporzioni:
