UN matrice identità è un tipo speciale di Sede centrale. Conosciamo come matrice identità IN la matrice quadrata di ordine n che ha tutti i termini sulla diagonale uguali a 1 e i termini non appartenenti alla diagonale principale uguali a 0. La matrice identità è considerata l'elemento neutro della moltiplicazione, cioè se moltiplichiamo una matrice M dalla matrice identità, troviamo come risultato la matrice stessa M.
Vedi anche: Qual è il determinante di una matrice?
Riassunto sulla matrice identità
La matrice identità è la matrice quadrata con elementi della diagonale principale pari a 1 e con gli altri elementi pari a 0.
Esistono matrici identità di ordini diversi. Rappresentiamo la matrice identità dell'ordine N da io N.
La matrice identità è l'elemento neutro della moltiplicazione di matrici, cioè \( A\cdot I_n=A.\)
Il prodotto di una matrice quadrata e della sua matrice inversa è la matrice identità.
Cos'è la matrice identità?
La matrice identità è a tipo speciale di matrice quadrata. Una matrice quadrata è detta matrice identità se ha tutti gli elementi sulla diagonale principale uguali a 1 e tutti gli altri elementi uguali a 0. Allora, in ogni matrice identità:
➝ Tipi di matrici di identità
Esistono matrici identità di ordini diversi. l'ordine N è rappresentato da IN. Vediamo di seguito alcune matrici di altri ordini.
Matrice identità ordine 1:
\(I_1=\sinistra[1\destra]\)
Matrice identità ordine 2:
\(I_2=\sinistra[\begin{matrice}1&0\\0&1\\\end{matrice}\destra]\)
Matrice identità ordine 3:
\(I_3=\sinistra[\begin{matrice}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\fine{matrice}\destra]\)
Matrice identità ordine 4:
\(I_4=\left[\begin{matrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{matrix}\right]\)
Matrice identità ordine 5:
\(I_5=\sinistra[\begin{matrice}1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\\\fine{matrice}\destra]\)
Successivamente si possono scrivere matrici identità di ordine diverso.
Proprietà della matrice identità
La matrice identità ha una proprietà importante, in quanto è l'elemento neutro della moltiplicazione tra le matrici. Ciò significa che qualsiasi matrice moltiplicata per la matrice identità è uguale a se stessa. Quindi, data la matrice M di ordine N,abbiamo:
\(I_n\cpunto M=M\cpunto I_n=M\)
Un'altra proprietà importante della matrice identità è che il prodotto di una matrice quadrata e del suo matrice inversa è la matrice identità. Data una matrice quadrata M di ordine N, il prodotto di M per il suo inverso è dato da:
\(M\cdot M^{-1}=I_n\)
Leggi anche: Cos'è una matrice triangolare?
Moltiplicazione della matrice identità
Quando moltiplichiamo una matrice M per la matrice identità di ordine N, otteniamo come risultato la matrice M. Vediamo, sotto, un esempio del prodotto della matrice M di ordine 2 per la matrice identità di ordine 2.
\(A\ =\ \left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{matrix}\right) \) È \(I_n=\sinistra(\begin{matrice}1&0\\0&1\\\end{matrice}\destra)\)
Supponendo che:
\(A\cdot I_n=B\)
Abbiamo:
\(B\ =\left(\begin{matrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\\\end{matrix}\right)\)
Quindi il prodotto di A per \(In\) sarà:
\(b_{11}=1\cdot a_{11}\cdot1+0\cdot a_{12}=a_{11}\)
\(b_{12}=0\cdot a_{11}+1\cdot a_{12}=a_{12}\)
\(b_{21}=1\cdot a_{21}+0\cdot a_{22}=a_{21}\)
\(b_{22}=0\cdot a_{21}+1\cdot a_{22}=a_{22}\)
Si noti che i termini della matrice B sono identici ai termini della matrice A, ovvero:
\(A\cdot I_n=\left[\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{matrix}\right]=A\)
Esempio:
Essendo M La matrice \(M=\ \left[\begin{matrix}1&4&0\\2&5&3\\-3\ &-2&1\\\end{matrix}\right]\), calcola il prodotto tra le matrici M e la matrice \(I_3\).
Risoluzione:
Effettuando la moltiplicazione si ha:
\(M\cdot I_3=\left[\begin{matrix}1&4&0\\2&5&3\\-3\ &-2&1\\\end{matrix}\right]\cdot\left[\begin{matrix}1&0&0\\ 0&1&0\\0&0&1\\\fine{matrice}\destra]\)
\(M\cdot I_3=\left[\begin{matrix}1\ \cdot\ 1\ +\ 0\ \cdot\ 4\ +\ 0\ \cdot\ 0&1\cdot0\ +\ 4\ \cdot\ 1 \ +\ 0\cdot\ 0&1\cdot0+4\cdot0+0\cdot1\\2\cdot\ 1\ +\ 5\ \cdot\ 0\ +\ 3\ \cdot\ 0&2\ \cdot\ 0\ +\ 5\cdot1+3\cdot0&2\cdot0+5\cdot0+3\cdot1\\-3\cdot1+\sinistra(-2\destra)\cdot0+1\cdot0&-3\cdot0+\sinistra(-2\destra)\ cdot1+1\cdot0&-3\cdot0+\left(-2\right)\cdot0+1\cdot1\\\end{matrix}\right]\)
\(M\cdot I_3=\left[\begin{matrix}1&4&0\\2&5&3\\-3\ &-2&1\\\end{matrix}\right]\)
Esercizi risolti sulla matrice identità
domanda 1
C'è una matrice quadrata di ordine 3 che è definita da \(a_{ij}=1 \) Quando \(io=j\) È \(a_{ij}=0\) È Quando \(i\neq j\). Questa matrice è del tipo:
UN) \( \left[\begin{matrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\\\end{matrix}\right]\)
B) \( \left[\begin{matrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\\\end{matrix}\right]\)
W) \( \left[\begin{matrix}0&1&1\\0&0&1\\0&0&1\\\end{matrix}\right]\)
D) \( \left[\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}\right]\)
E) \( \left[\begin{matrix}1&0&0\\1&1&0\\1&1&1\\\end{matrix}\right]\)
Risoluzione:
Alternativa D
Analizzando la matrice si ha:
\(a_{12}=a_{13}=a_{21}=a_{23}=a_{31}=a_{32}=0\)
\(a_{11}=a_{22}=a_{33}=1\)
Quindi, la matrice è uguale a:
\(\left[\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}\right]\)
Domanda 2
(UEMG) Se la matrice inversa di \(A=\sinistra[\begin{matrice}2&3\\3&x\\\end{matrice}\destra]\) é \( \sinistra[\begin{matrice}5&-3\\-3&2\\\end{matrice}\destra]\), il valore di x è:
A) 5
B) 6
C) 7
D) 9
Risoluzione:
Alternativa A
Moltiplicando le matrici ci si rende conto che il loro prodotto è uguale alla matrice identità. Calcolando il prodotto della seconda riga della matrice per la prima colonna della sua inversa, abbiamo:
\(3\cdot5+x\cdot\sinistra(-3\destra)=0\)
\(15-3x=0\)
\(-\ 3x=0-15\ \)
\(-\ 3x=-\ 15\)
\(x=\frac{-15}{-3}\)
\(x=5\ \)
Di Raúl Rodrigues de Oliveira
Insegnante di matematica
Fonte: Scuola Brasile - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-identidade.htm
