Esercizi sui coefficienti e sulla concavità della parabola

O grafico di una funzione di 2° grado, f (x) = ax² + bx + c, è una parabola ei coefficienti IL, B È w sono legati a caratteristiche importanti della parabola, come il concavità.

Inoltre, il coordinate del vertice di una parabola sono calcolati da formule che coinvolgono i coefficienti e il valore della discriminante delta.

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A sua volta, il discriminante è anche una funzione dei coefficienti e da esso possiamo identificare se la funzione di 2° grado ha radici e quali sono, se ce ne sono.

Come puoi vedere, dai coefficienti possiamo capire meglio la forma di una parabola. Per saperne di più, vedi a elenco degli esercizi risolti sulla concavità della parabola e sui coefficienti della funzione di 2° grado.

Elenco di esercizi su coefficienti e concavità della parabola

Domanda 1. Determina i coefficienti di ciascuna delle seguenti funzioni di 2° grado e stabilisci la concavità della parabola.

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a) f(x) = 8x² – 4x + 1

b) f (x) = 2x² + 3x + 5

c) f (x) = 4x² – 5

e) f(x) = -5x²

f) f (x) = x² – 1

Domanda 2. Dai coefficienti delle funzioni quadratiche sottostanti, determinare il punto di intersezione delle parabole con l'asse delle ordinate:

a) f (x) = x² – 2x + 3

b) f(x) = -2x² + 5x

c) f (x) = -x² + 2

d) f (x) = 0,5x² + 3x – 1

Domanda 3. Calcolare il valore del discriminante $\dpi{120} \bg_white \Delta$ e identificare se le parabole intersecano l'asse delle ascisse.

a) y = -3x² – 2x + 5

b) y = 8x² – 2x + 2

c) y = 4x² – 4x + 1

Domanda 4. Determina la concavità e il vertice di ciascuna delle seguenti parabole:

a) y = x² + 2x + 1

b) y = x² – 1

c) y = -0.8x² -x + 1

Domanda 5. Determinare la concavità della parabola, il vertice, i punti di intersezione con gli assi e rappresentare graficamente la seguente funzione quadratica:

f(x) = 2x² – 4x + 2

Risoluzione della domanda 1

a) f(x) = 8x² – 4x + 1

Coefficienti: a = 8, b = -4 e c = 1

Concavità: verso l'alto, poiché a > 0.

b) f (x) = 2x² + 3x + 5

Coefficienti: a = 2, b = 3 e c = 5

Concavità: verso l'alto, poiché a > 0.

c) f (x) = -4x² – 5

Coefficienti: a = -4, b = 0 e c = -5

Concavità: verso il basso, perché a < 0.

e) f(x) = -5x²

Coefficienti: a = -5, b = 0 e c = 0

Concavità: verso il basso, perché a < 0.

f) f (x) = x² – 1

Coefficienti: a = 1, b = 0 e c = -1

Concavità: verso l'alto, poiché a > 0.

Risoluzione della questione 2

a) f (x) = x² – 2x + 3

Coefficienti: a= 1, b = -2 e c = 3

Il punto di intercettazione con l'asse y è dato da f (0). Questo punto corrisponde esattamente al coefficiente c della funzione quadratica.

Punto di intercettazione = c = 3

b) f(x) = -2x² + 5x

Coefficienti: a= -2, b = 5 e c = 0

Punto di intercettazione = c = 0

c) f (x) = -x² + 2

Coefficienti: a= -1, b = 0 e c = 2

Punto di intercettazione = c = 2

d) f (x) = 0,5x² + 3x – 1

Coefficienti: a= 0,5, b = 3 e c = -1

Punto di intercettazione = c = -1

Risoluzione della domanda 3

a) y = -3x² – 2x + 5

Coefficienti: a = -3, b = -2 e c = 5

Discriminante:

$\dpi{100} \large \bg_white \Delta b^2 - 4. IL. c (-2)^2 - 4.(-3).5 64$

Poiché il discriminante è un valore maggiore di 0, la parabola interseca l'asse x in due punti diversi.

b) y = 8x² – 2x + 2

Coefficienti: a = 8, b = -2 e c = 2

Discriminante:

$\dpi{100} \large \bg_white \Delta b^2 - 4. IL. c (-2)^2 - 4.8.2 -60$

Poiché il discriminante è un valore minore di 0, allora la parabola non interseca l'asse x.

c) y = 4x² – 4x + 1

Coefficienti: a = 4, b = -4 e c = 1

Discriminante:

$\dpi{100} \large \bg_white \Delta b^2 - 4. IL. c (-4)^2 - 4.4.1 0$

Poiché il discriminante è uguale a 0, la parabola interseca l'asse x in un unico punto.

Risoluzione della domanda 4

a) y = x² + 2x + 1

Coefficienti: a= 1, b = 2 e c= 1

Concavità: in alto, perché a > 0

Discriminante:

$\dpi{100} \large \bg_white \Delta 2^2 - 4. 1. 1 4 - 4 0$

Vertice:

$\dpi{100} \large \bg_white x_v \frac{-b}{2a} \frac{-2}{2} -1$

$\dpi{100} \large \bg_white y_v \frac{-\Delta }{4a} 0$

V(-1.0)

b) y = x² – 1

Coefficienti: a= 1, b = 0 e c= -1

Concavità: in alto, perché a > 0

Discriminante:

$\dpi{100} \large \bg_white \Delta 0^2 - 4. 1. (-1) 4$

Vertice:

$\dpi{100} \large \bg_white x_v \frac{-b}{2a} 0$

$\dpi{100} \large \bg_white y_v \frac{-\Delta }{4a} \frac{-4}{4} -1$

V(0,-1)

c) y = -0.8x² -x + 1

Coefficienti: a= -0.8, b = -1 e c= 1

Concavità: verso il basso, perché a < 0

Discriminante:

$\dpi{100} \large \bg_white \Delta (-1)^2 - 4. (-0,8). 1 4,2$

Vertice:

$\dpi{100} \large \bg_white x_v \frac{-b}{2a} \frac{1}{-1.6} -0.63$

$\dpi{100} \large \bg_white y_v \frac{-\Delta }{4a} \frac{-4.2}{-3.2} 1.31$

V(-0,63; 1,31)

Risoluzione della domanda 5

f(x) = 2x² – 4x + 2

Coefficienti: a = 2, b = -4 e c = 2

Concavità: in alto, perché a > 0

Vertice:

$\dpi{100} \large \bg_white x_v \frac{-b}{2a}\frac{4}{4} 1$

$\dpi{100} \large \bg_white \Delta (-4)^2 -4. 2. 2 0$

$\dpi{100} \large \bg_white y_v \frac{-\Delta }{4a} 0$

V(1.0)

Intercetta con l'asse y:

c = 2 ⇒ punto (0, 2)

Intercetta con l'asse x:

COME $\dpi{120} \bg_white \Delta 0$ , allora la parabola interseca l'asse x in un unico punto. Questo punto corrisponde alle radici (uguali) dell'equazione 2x² – 4x + 2, che possono essere determinate da la formula di Bhaskara: