IL proporzione è definito come uguaglianza tra due motivi, se questa uguaglianza è vera, allora diciamo che i numeri che erano le ragioni nell'ordine dato sono proporzionali.
Lo studio delle proporzioni è essenziale per lo sviluppo matematico, poiché ci consentono enable elencograndezza, risolvendo così i problemi della nostra vita quotidiana. Esempi di proporzioni sono: scala di una mappa, velocità media di un rover e densità di una soluzione.
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Cos'è la ragione e la proporzione?
IL Motivo tra due numeri è ilquozientetra di loro nell'ordine in cui sono dati. Siano aeb due numeri razionali, dove b è diverso da 0, il rapporto tra aeb è dato da:
quando hai due motivi ed entrambi sono essere confrontato per l'uguaglianza, allora abbiamo una proporzione. Se l'uguaglianza è vera, i numeri saranno proporzionali, altrimenti non saranno proporzionali.
voi numeri razionaliIl, B, ç e d sono proporzionali se e solo se è vera la seguente uguaglianza.
Equivalentemente, possiamo dire che l'uguaglianza sarà vera solo quando la moltiplicazione incrociata è vera.
a · d = b · c |
Proprietà proporzionali
Considera il seguente rapporto tra i numeri Il, B, ç e d:
Quindi valgono le seguenti proprietà:
Proprietà 1 – Il prodotto delle medie è uguale al prodotto degli estremi (moltiplicazione incrociata).
Proprietà 2 – La ragione tra il somma (o differenza) dei primi due termini e del primo termine è uguale al rapporto tra la somma (o la differenza) degli ultimi due termini e il terzo termine.
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Come calcolare le proporzioni
Per verificare o calcolare se, in effetti, i numeri sono proporzionali, basta applicare la prima proprietà, se l'uguaglianza è vera, allora i numeri sono proporzionali. Guarda gli esempi:
Esempio 1
Verificare che i numeri 15, 30, 45 e 90 siano proporzionali.
Dobbiamo, in quest'ordine, assemblare i rapporti e quindi eseguire la moltiplicazione incrociata.
Nota che l'uguaglianza è vera, quindi i numeri formano, in questo ordine, una proporzione.
Esempio 2
I numeri 2, 4, x e 32 sono noti per essere proporzionali. Determina il valore di x.
Per ipotesi, abbiamo che i numeri, nell'ordine in cui sono stati presentati, sono proporzionali, quindi possiamo equalizzare i rapporti tra loro e applicare la proprietà 1, vedi:
Grandezze direttamente e inversamente proporzionali
Grandezza, in matematica, è tutto ciò che è possibile misurare o misurare, ad esempio quantità, distanza, massa, volume ecc. Le grandezze possono essere direttamente proporzionali (PIL) o inversamente proporzionali (GIP), vediamo la differenza tra loro:
Grandezze direttamente proporzionali
Diciamo che due o più quantità sono direttamente proporzionali se il rapporto di i valori della prima quantità è uguale ai valori della seconda quantità, e così via. Ad esempio, la quantità di massa è proporzionale alla Peso di un oggetto, vedere la tabella:
Massa (kg) |
Peso (N) |
30 |
300 |
60 |
600 |
80 |
800 |
Si noti che il rapporto tra le quantità è sempre lo stesso:
Lo stesso accadrà se ci rendiamo conto del rapporto tra gli altri valori.
Un altro modo per sapere se due o più grandezze sono direttamente proporzionali è controllare il crescita o diminuzione di entrambi. Ad esempio, se una quantità aumenta, anche l'altra deve aumentare se sono direttamente proporzionali. Diamo un'occhiata all'esempio:
Nella tabella massa x peso, vedi che maggiore è la massa dell'oggetto (↑), maggiore è il suo peso (↑), quindi le quantità sono direttamente proporzionali.
Esempio
I numeri x, t e 2 sono direttamente proporzionali ai numeri 5, 6 e 10. Determina i valori di x e t.
Come l'esempio ci ha detto che i numeri sono direttamente proporzionali, quindi il rapporto tra loro è uguale, in questo modo:
Moltiplicando ciascuna delle uguaglianze, abbiamo:
5x = 5
x = 1
e
5t = 6
t = 6 ÷ 5
t = 1.2
Pertanto, x = 1 et = 1.2.
Grandezze inversamente proporzionali
Due o più quantità saranno inversamente proporzionali se il rapporto tra i valori della prima è uguale all'inverso del rapporto tra i valori della seconda. Possiamo interpretarlo in un altro modo, se una quantità aumenta (↑) e l'altra quantità diminuisce (↓), allora sono inversamente proporzionali. Vedi l'esempio:
Velocità e tempo sono inversamente proporzionali.
Velocità (km/h) |
Tempo (ore) |
50 |
2 |
100 |
1 |
150 |
0 |
Nota che maggiore è la velocità di un determinato viaggio (↑), minore è il tempo per quel viaggio (↓). Vedi anche che se prendiamo il rapporto tra due valori della prima quantità e l'inverso del rapporto tra due valori della seconda quantità, l'uguaglianza sarà vera.
Esempio
Dividi il numero 120 in parti inversamente proporzionali ai numeri 4 e 6.
Visto che vogliamo dividere il numero 120 in due parti e non le conosciamo, chiamiamole Il e 120 – a. Per definizione di inversamente proporzionale, il rapporto tra i primi valori è uguale all'inverso del rapporto tra gli ultimi due valori. Così:
Poiché l'altra parte è 120 - a, allora:
120 - il
120 – 72
48
Pertanto, dividendo il numero 120 in parti inversamente proporzionali ai numeri 4 e 6, otteniamo 72 e 48.
Esercizio risolto
Domanda 1 – (Fuvest) Nella tabella seguente, y è inversamente proporzionale al quadrato di x. Calcola i valori di p e m.
X |
sì |
1 |
2 |
2 |
0 |
m |
8 |
Risoluzione
Nota che l'affermazione afferma che i valori di y sono inversamente proporzionali al quadrato di x, cioè il rapporto dei valori di y sarà uguale all'inverso dei valori di x al quadrato.
Utilizzando la stessa logica, determiniamo il valore di m.
di Robson Luiz
Insegnante di matematica
