Nello studio dei cerchi, un concetto importante da studiare è quello delle linee tangenti a un cerchio. Per effettuare questo studio, è necessario comprendere le posizioni relative di un punto rispetto ad un cerchio. Se non hai studiato qualcosa relativo a questo argomento, dai un'occhiata all'articolo Posizioni relative tra un punto e un cerchio.
Osservando la posizione di un punto rispetto ad un cerchio, possiamo concludere alcuni fatti relativi alle rette tangenti. È noto che ci sono tre posizioni relative da un punto a un cerchio. Per ogni posizione di questo punto, possiamo concludere qualcosa sulla linea tangente che passa per quel punto.
• Punto all'interno del cerchio: non è possibile tracciare una linea tangente attraverso questo punto.
• Punto appartenente alla circonferenza: per questo punto si può avere solo una retta tangente, in quanto è il punto di tangenza.
• Punto fuori cerchio: da questo punto possiamo tracciare due linee tangenti al cerchio.
Pertanto, per determinare l'equazione della retta tangente ad una circonferenza passante per un dato punto, dobbiamo necessariamente determinare la posizione relativa di quel punto. Questa posizione dipende dalla distanza dal punto al centro del cerchio.
Dobbiamo ricordare alcuni fatti importanti sulla geometria analitica:
• La distanza più breve da un punto a una linea è un segmento perpendicolare a questa linea;
• La linea tangente sarà sempre perpendicolare alla semiretta nel suo punto di tangenza.
Mettendo in relazione i due fatti precedenti, si può affermare che la distanza dalla tangente al centro deve essere uguale al raggio.
Pertanto, per determinare l'equazione della retta tangente, dobbiamo analizzare la posizione del punto che disegneremo alla retta e con essa calcolare la distanza della retta che contiene questo punto rispetto al centro del circonferenza.
Per una migliore comprensione di tutti questi concetti, lavoreremo con esempi che necessitano di queste riflessioni.
1) Determinare la(e) equazione(e) della(e) retta(e) tangente(e) alla circonferenza data, tracciata dal punto P.
a) eq. circonferenza: x2+ si2 - 6x - 8y = 0 P (0.0)
Non fermarti ora... C'è dell'altro dopo la pubblicità ;)
Con ciò, possiamo estrarre le informazioni necessarie per il nostro problema:
C(3,4), r=5.
Dobbiamo ora trovare la posizione relativa del punto P(0,0):
Pertanto, il punto P è il punto di tangenza.
Determiniamo l'equazione della retta passante per il punto P.
Per determinare effettivamente l'equazione della linea, dobbiamo ancora scoprire qual è la pendenza di questa linea. Uno dei fatti che abbiamo visto all'inizio di questo articolo è stata la perpendicolarità della linea tangente al raggio del cerchio. Il punto P è un punto di tangenza, quindi la pendenza della retta che passa per il punto P e per il centro deve essere perpendicolare alla retta tangente. Per questo, abbiamo una relazione tra pendenze perpendicolari.
In altre parole, il prodotto delle pendenze delle rette perpendicolari è uguale a -1.
Per determinare la pendenza del segmento PC, dobbiamo usare la seguente espressione:
Con ciò, otteniamo l'equazione della retta tangente:
Un altro modo per determinare il valore di m sarebbe calcolare la distanza dal centro alla linea. Questa distanza è uguale al raggio. Vediamo:
Quando il punto è fuori dal cerchio, dovremmo trovare il punto di tangenza usando la distanza dal centro del cerchio al circle retta tangente, quindi determineremo il valore del coefficiente angolare della retta tangente, che, a sua volta, determinerà l'equazione della retta tangente.
di Gabriel Alessandro de Oliveira
Laureato in Matematica
Squadra scolastica brasiliana
Vorresti fare riferimento a questo testo in un lavoro scolastico o accademico? Guarda:
OLIVEIRA, Gabriel Alessandro de. "Tanganza alla circonferenza"; Brasile Scuola. Disponibile in: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/tangencia-circunferencia.htm. Consultato il 29 giugno 2021.
