Alcune situazioni che coinvolgono progressioni geometriche ricevono un'attenzione particolare per quanto riguarda lo sviluppo e la soluzione. Certe successioni geometriche, una volta sommate, tendono ad un valore numerico fisso, cioè l'introduzione di nuovi termini nella somma fa man mano che la serie geometrica si avvicina sempre di più a un valore, questo tipo di comportamento è chiamato Serie geometrica Convergente. Analizziamo la seguente progressione geometrica (4, 4/3, 4/9, 4/27, ...) della ragione q = 1/3, determinando le seguenti situazioni: Y5 e S10.
Somma dei termini di una progressione geometrica
All'aumentare del numero dei termini, il valore della somma dei termini nella progressione si avvicina a 6. Concludiamo che la somma della successione (4, 4/3, 4/9, 4/27, ...) converge a 6 ogni volta che vengono introdotti nuovi elementi. Possiamo dimostrare la situazione generale come segue: 4 + 4/3 + 4/9 + 4/27 +... = 6.
Un'altra situazione che coinvolge le progressioni geometriche è la serie divergente, che non tende a un numero fissati come i Convergenti, poiché aumentano sempre di più man mano che vengono introdotti nuovi termini nel progressione. Guarda il PG
(3, 6, 12, 24, 48, ...) di rapporto q = 2, determiniamo le somme quando: n = 10 e n = 15.
Si noti che la somma aumenta con il numero di termini, S10 = 3069 e S15 = 98301, quindi diciamo che la serie diverge, diventa grande quanto vuoi.
Tornando allo studio delle Serie Convergenti, possiamo determinare un'unica espressione che esprima il valore a cui si avvicina la serie geometrica, per cui prenderemo in considerazione alcuni punti. Supponiamo che il rapporto q assuma valori all'interno dell'intervallo ] – 1 e 1[, questo è – 1 < q < 1, quindi, possiamo concludere che l'elemento qn dell'espressione che determina la somma dei termini di un PG tende a zero all'aumentare del numero di termini n. In questo modo possiamo considerare qn = 0. Segui la dimostrazione:
Sno = Il1(qn – 1) = Il1(0 – 1) = – Il1 = Il1
che cosa – 1 q – 1 q – 1 1 – che cosa
Quindi, la seguente espressione segue:
Sno = Il1, –1 < q < 1
1 – che cosa
di Mark Noah
Laureato in Matematica
Squadra scolastica brasiliana
Progressioni - Matematica - Brasile Scuola
Fonte: Scuola Brasile - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/series-geometricas-convergentes-divergentes.htm
