Per il calcolo dei determinanti di matrici quadrate di ordine minore o uguale a 3 (n≤3), abbiamo alcune regole pratiche per eseguire questi calcoli. Tuttavia, quando l'ordine è maggiore di 3 (n>3), molte di queste regole non sono applicabili.
Pertanto, vedremo il teorema di Laplace, che, utilizzando il concetto di cofattore, conduce il calcolo dei determinanti per le regole che si applicano a qualsiasi matrice quadrata.
Il teorema di Laplace consiste nello scegliere una delle righe (riga o colonna) della matrice e sommare i prodotti degli elementi di quella riga per i rispettivi cofattori.
Illustrazione algebrica:
Vediamo un esempio:
Calcola il determinante della matrice C usando il teorema di Laplace:
Secondo il teorema di Laplace, dobbiamo scegliere una riga (riga o colonna) per calcolare il determinante. Usiamo la prima colonna:
Dobbiamo trovare i valori del cofattore:
Quindi, per il teorema di Laplace, il determinante della matrice C è dato dalla seguente espressione:
Si noti che non era necessario calcolare il cofattore dell'elemento di matrice che fosse uguale a zero, dopotutto, moltiplicando il cofattore, il risultato sarebbe comunque zero. Pertanto, quando incontriamo matrici che hanno molti zeri in una delle loro righe, il, l'uso del teorema di Laplace diventa interessante, in quanto non sarà necessario calcolarne diversi cofattori.
Diamo un'occhiata a un esempio di questo fatto:
Calcola il determinante della matrice B usando il teorema di Laplace:
Nota che la seconda colonna è la riga che ha il maggior numero di zeri, quindi useremo questa riga per calcolare il determinante di matrice attraverso il teorema di Laplace.
Pertanto, per determinare il determinante della matrice B, basta trovare il cofattore A22.
Pertanto, possiamo completare i calcoli del determinante:
dettaglio B = (- 1). (- 65) = 65
di Gabriel Alessandro de Oliveira
Laureato in Matematica
Squadra scolastica brasiliana
Fonte: Scuola Brasile - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-laplace.htm