Lavorare con funzioni composte non ha grandi segreti, ma richiede molta attenzione e cura. Quando si ha a che fare con una composizione di tre o più funzioni, siano esse del 1° grado o da 2° grado, maggiore dovrebbe essere la preoccupazione. Prima di esaminare alcuni esempi, comprendiamo l'idea centrale della composizione dei ruoli.
Immagina di voler fare un viaggio in aereo da Rio Grande do Sul ad Amazonas. Una compagnia aerea offre un biglietto aereo diretto e un'altra opzione più economica, con tre scali aerei, come mostrato nel diagramma seguente:
Rio Grande do Sul → San Paolo → Goiás → Amazonas
Qualsiasi opzione di viaggio porterà alla destinazione prevista, così come la funzione composita. Vedi l'immagine qui sotto:
Esempio di come funziona una composizione di tre funzioni
Che ne dici di usare questo schema per applicare un esempio? Considera quindi le seguenti funzioni: f (x) = x + 1, g (x) = 2x – 3 e h (x) = x². la composizione f o g o h (si legge: f composto con g composto con h) può essere più facilmente interpretato quando espresso come
f(g(h(x))). Per risolvere questa composizione di funzioni, dobbiamo partire dalla funzione composta più interna o dall'ultima composizione, quindi, g(h(x)). In funzione g (x) = 2x – 3, ovunque ci sia X, sostituiremo con h(x):g (x) = 2x – 3
g(h(x)) = 2.h(x) – 3
g(h(x)) = 2.(x²) – 3
g (h(x)) = 2.x² - 3
Ora faremo l'ultima composizione f(g(h(x))). In funzione f (x) = x + 1, ovunque ci sia X, sostituiremo con g (h(x)) = 2.x² - 3:
f (x) = x + 1
f(g(h(x))) = (2.x² - 3) + 1
f(g(h(x))) = 2.x² - 3 + 1
f (g(h (x))) = 2.x² - 2
Facciamo un esempio per dimostrare che, come accaduto nel caso del volo citato all'inizio di questo articolo, se scegliamo un valore da applicare in f(g(h(x))), otterremo lo stesso risultato dell'applicazione separata nelle composizioni. Se x = 1, Dobbiamo h (1) è lo stesso di:
h (x) = x²
h (1) = 1²
h (1) = 1
Sapendo ciò h (1) = 1, troviamo ora il valore di g(h(1)):
g (x) = 2x – 3
g (h(1)) = 2.h (1) - 3
g (h(1)) = 2,1 - 3
g (h(1)) = – 1
Infine, calcoliamo il valore di f(g(h(1))), sapendo ciò g (h(1)) = – 1:
f (x) = x + 1
f(g(h(1))) = g(h(1)) + 1
f (g(h (1))) = – 1 + 1
f (g(h (1))) = 0
L'abbiamo trovato f (g(h (1))) = 0. Quindi, vediamo se otteniamo lo stesso risultato durante la sostituzione x = 1 nella formula per la composizione delle funzioni che abbiamo trovato in precedenza: f (g(h (x))) = 2.x² - 2:
f (g(h (x))) = 2.x² - 2
f (g(h (1))) = 2.(1)² – 2
f (g(h (1))) = 2 - 2
f (g(h (1))) = 0
Quindi in realtà abbiamo ottenuto lo stesso risultato che volevamo dimostrare. Vediamo ancora un altro esempio di composizione di tre o più funzioni:
Lascia che le funzioni siano: f (x) = x² - 2x, g (x) = – 2 + 3x, h (x) = 5x³ e io (x) = - x, determinare la legge della funzione composta f(g(h(i(x)))).
Inizieremo a risolvere questa composizione con la funzione composita più interna, h(x)):
io (x) = – x e h (x) = 5x³
h (x) = 5x³
H(io(x)) = 5.[io(x)]³
H(io(x)) = 5.[- X]³
h (i(x)) = – 5x³
Risolviamo ora la composizione g(h(i(x))):
h (i(x)) = – 5x³ e g (x) = – 2 + 3x
g (x) = – 2 + 3x
g(h(x))) = – 2 + 3.[h(x))]
g(h(x))) = – 2 + 3.[– 5x³]
g (h(i (x))) = – 2 – 15x³
Possiamo ora determinare la legge della funzione composta f(g(h(i(x))))):
g (h(i (x))) = – 2 – 15x³ e f (x) = x² - 2x
f (x) = x² - 2x
f(g(h(i(x)))) = [g (h(i (x)))]² - 2[g(h(i(x)))]
f(g(h(i(x)))) = [– 2 – 15x³]² – 2[– 2 – 15x³]
f(g (h(i (x)))) = 4 - 60x³ + 225x6 + 4 + 30x³
f (g(h(i(x)))) = 225x6 – 30x³ + 8
Pertanto, la legge della funzione composta f(g(h(i(x))))) é f (g(h(i(x)))) = 225x6 – 30x³ + 8
di Amanda Gonçalves
Laureato in Matematica
Fonte: Scuola Brasile - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/tres-ou-mais-funcoes.htm