Per capire il somma di due cubi, È importante capire che usiamo il prodotto di due polinomi per facilitare operazioni e semplificazioni. al lavoro con polinomi, diventa necessario saperli fattorizzare, e trovare la fattorizzazione è cercare un modo per rappresentare il polinomio come prodotto di due o più polinomi. Saper applicare la fattorizzazione di questo polinomio è essenziale per semplificare le situazioni problematiche che coinvolgono la somma di due cubi. Esiste una formula utilizzata per eseguire questa fattorizzazione.
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Come viene scomposta la somma di due cubi?
IL fattorizzare un polinomio è abbastanza comune in Matematica e il suo scopo è esprimere questo polinomio come prodotto di due o più polinomi. Da questa rappresentazione è possibile effettuare semplificazioni e risolvere situazioni che coinvolgono, in questo caso, la somma di due cubi. Per effettuare la fattorizzazione è necessario conoscere la formula per la somma di due cubi.
Formula della somma di due cubi
Tenere conto Il come primo termine e B come secondo termine e possono essere qualsiasi numero reale, quindi dobbiamo:
a³ + b³ = (a+b)(a² - ab +b²)
Analizzando il secondo membro dell'equazione, dimostreremo che applicando la proprietà distributiva, possiamo trovare il primo membro.
(a+b)(a² - ab +b²) = a³ – a²b+ab²+a²b–ab² +b³
Nota che i termini in rosso e i termini in blu sono rispettivamente opposti, quindi la loro somma è uguale a zero, lasciando:
(a+b)(a² - ab +b²) = a³ + b³
Per eseguire la fattorizzazione del cubo differenza, applichiamo la formula e troviamo i termini aeb, come mostrato nell'esempio seguente.
Esempio 1:
Risolvi x³ + 27.
Riscrivendo l'equazione, sappiamo che 27=3³, quindi rappresentiamola con: x³ + 3³ → somma di due cubi, dove x è il primo termine e 3 è il secondo termine.
Eseguendo la fattorizzazione utilizzando la formula, dobbiamo:
x³ + 3³ = (x+3)(x² - x·3 +3²)
x³ + 3³ = (x+3)(x² - 3x +9)
Pertanto, la fattorizzazione di x³ + 27 è uguale a (x+3)(x² – 3x +9).
Esempio 2:
Risolvi 8x³ + 125.
Riscrivendo l'equazione, sappiamo che 8x³ = (2x) ³ e 125=5³, quindi rappresentiamo con: (2x) ³ + 5³ → somma di due cubi, dove 2x è il primo termine e 5 è il secondo termine.
Eseguendo la fattorizzazione utilizzando la formula, dobbiamo:
(2x) ³ + 5³ = (2x +5) ((2x) ² – 2x·5+5²)
(2x) + 5³ = (2x+5) (4x² – 10x +25)
Pertanto, la fattorizzazione di 8x³ + 125 è uguale a (2x+5)(4x² – 10x +25).
Vedi anche: Come sommare e sottrarre frazioni algebriche?
Esercizi risolti
Domanda 1 - Sapendo che a³ + b³ = 1944 e che a+b = 1 e ab = 72, il valore di a²+b² è ?
A) 160
B) 180
C) 200
D) 240
E) 250
Risoluzione
Alternativa B.
Scomponiamo a³ + b³.
a³ +b³ = (a+b) (a² - ab + b²)
Ora useremo i dati della domanda sostituendo a+b, ab e a³ + b³:
Domanda 2 - La semplificazione dell'espressione è:
A 1
B) x+1
C) -3xy
D) x² + y²
E) 5
Risoluzione
Alternativa A.
Di Raul Rodrigues de Oliveira
Insegnante di matematica
Fonte: Scuola Brasile - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/soma-dois-cubos.htm