La somma di due cubi è il 7° caso di fattorizzazione di espressioni algebriche, il suo ragionamento è lo stesso di in somma di due cubi, ragionamento che chiarisce come e quando dovremmo usarlo, osserva la dimostrazione di seguito:
Dati due numeri x e y. Se sottraiamo sarà: x – y, se costruiamo un'espressione algebrica con i due numeri otterremo: x2 + xy + y2, quindi, dobbiamo moltiplicare le due espressioni trovate.
(x - y) (x2 + xy + y2) è necessario utilizzare la proprietà distributiva;
X3 + X2sì + xy2 - X2sì –xy2 -y3 unire termini simili;
X3 -y3 è un'espressione algebrica di due termini, i due sono cubi e sottratti.
Possiamo quindi concludere che x3 -y3 è una forma generale della somma di due cubi dove
xey possono assumere qualsiasi valore reale.
La forma fattorizzata di x3 -y3 sarà (x - y) (x2 + xy + y2).
Vedi alcuni esempi:
Esempio 1
Se dobbiamo fattorizzare la seguente espressione algebrica 8x3 – 27, dobbiamo notare che ha due termini. Ricordando i casi di fattorizzazione, l'unico caso che fattorizza due termini è la differenza di due quadrati, la somma di due cubi e la differenza di due cubi.
Nell'esempio sopra i due termini sono cubi e tra di loro c'è una sottrazione, quindi dovremmo usare il 7° caso di fattorizzazione (differenza di due cubi), per fattorizzare dobbiamo scrivere l'espressione algebrica 8x3 – 27 come segue:
(x - y) (x2 + xy + y2). Prendendo le radici cubiche dei due termini, abbiamo: 8x3 – 27
La radice cubica 8x3 è 2x e la radice cubica di 27 è 3. Ora, basta sostituire i valori, al posto di x mettiamo 2x e al posto di y mettiamo 3 in forma fattorizzata
(x - y) (x2 + xy + y2), simile a questo:
(2x - 3) ((2x)2 + 2x. 3 + 32)
(2x - 3) (4x2 + 6x + 9)
Quindi (2x - 3) (4x2 + 6x + 9) è la forma fattorizzata dell'espressione algebrica 8x3 – 27.
Esempio 2
Per risolvere la fattorizzazione utilizzando la differenza di due cubi dobbiamo seguire gli stessi passaggi dell'esempio precedente. Fattorizzare l'espressione algebrica r3 – 64 abbiamo: Le radici cubiche di r3 è r e 64 è 4, sostituendo r per x e r per y per 4.
(r – 4) (r2 + 4r + 16) è la forma fattorizzata di r3 – 64.
di Danielle de Miranda
Laureato in Matematica
Squadra scolastica brasiliana
Fattorizzazione di espressioni algebriche
Matematica - Brasile Scuola
Fonte: Scuola Brasile - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/diferenca-dois-cubos.htm
