Ogni volta che la parola "algebrica" viene utilizzata per un'espressione numerica, significa che quell'espressione ha almeno uno sconosciuto, cioè una lettera o un simbolo usato per rappresentare un numero sconosciuto. Quindi, a frazione algebrica, a sua volta, non è altro che una frazione che ha almeno un'incognita nel denominatore (fondo della frazione). quindi, il semplificazione delle frazioni algebriche segue lo stesso fondamento della semplificazione delle frazioni numeriche.
Esempi di frazioni algebriche sono:
1)
2x
4 anni
2)
4 anni2 – 9x2
2a + 3x
Semplificare le frazioni algebriche
La semplificazione di una frazione algebrica segue le stesse basi della semplificazione di una frazione numerica. È necessario dividere numeratore e denominatore per lo stesso numero. Nota un esempio di semplificazione della frazione:
30 = 15 = 5 = 1
60 30 10 2
La frazione sopra è stata semplificata per 2, poi per 3 e poi per 5. Per supportare la procedura di semplificazione delle frazioni algebriche, riscriviamo la prima frazione sopra nella sua forma fattorizzata:
30 = 2·3·5
60 2·2·3·5
Nota che i numeri 2, 3 e 5 sono ripetuti al numeratore e al denominatore e che erano esattamente gli stessi numeri con cui è stata semplificata la frazione. Nel contesto di frazioni algebriche, la procedura è simile, così com'è necessario scomporre in fattori i polinomi presenti al numeratore e al denominatore. Dopodiché, dobbiamo valutare se è possibile semplificarne alcuni.
Esempi
1) Semplifica la seguente frazione algebrica:
4x2sì3
16xy6
Fattorizzare ciascuna delle incognite e dei numeri presenti nella frazione:
4x2sì3
16xy6
2·2·x·xy·y·y
2·2·2·2·xy·y·y·y·y·y
Ora esegui quante più divisioni possibili, come hai fatto in precedenza per la frazione numerica: I numeri che appaiono sia al numeratore che al denominatore scompaiono, cioè sono "taglio". È anche possibile scrivere che il risultato di ciascuna di queste semplificazioni è 1. Orologio:
2·2·x·xy·y·y
2·2·2·2·xy·y·y·y·y·y
X
2·2·y·y·y
X
4 anni3
2) Semplificare la seguente frazione algebrica:
4 anni2 – 9x2
2a + 3x
Nota che il numeratore di questo frazione algebrica rientra in uno dei casi di prodotti degni di nota, ovvero il due quadrati di differenza. Per scomporre in fattori, riscrivilo nella sua forma fattorizzata. Successivamente è possibile “tagliare” i termini che compaiono sia al denominatore che al numeratore come nell'esempio precedente. Orologio:
4 anni2 – 9x2
2a + 3x
= (2 anni + 3 volte) (2 anni - 3 volte)
2a + 3x
= 1·(2y – 3x)
= 2y + 3x
3) Semplificare la seguente frazione algebrica:
Il2(sì2 – 16x2)
ay + 4ax
Come precedentemente fatto, fattorizzare i polinomi presenti al numeratore e al denominatore. Successivamente, esegui le divisioni possibili.
Il2(sì2 – 16x2)
ay + 4ax
= Il·Il·(y + 4x)(y - 4x)
a·(y + 4x)
Si noti che il numeratore è stato scomposto utilizzando il due quadrati di differenza e il denominatore è stato scomposto attraverso il fattore comune. Inoltre, il termine a2 può essere scritto come il prodotto a·a. Infine, esegui quante più divisioni possibili. Vale a dire, a per a e (y + 4x) per (y + 4x):
Il·Il·(y + 4x)(y - 4x)
a·(y + 4x)
= 1·1·(y – 4x)
= y - 4x
I casi di fattorizzazione sono di fondamentale importanza per semplificare le frazioni algebriche. Di seguito sono elencati i casi più importanti e alcune pagine in cui è possibile trovarli in modo più dettagliato.
Fattorizzazione di espressioni algebriche
Un polinomio può essere scritto nella sua forma fattorizzata se può essere espresso in una delle quattro forme seguenti. I risultati presentati sono la loro forma fattorizzata o esempi di come fattorizzarli:
1 – Fattore comune
Se tutti i termini del polinomio hanno un'incognita o un numero comune, è possibile metterli in evidenza. Ad esempio, nel polinomio 4x2 + 2x possiamo mettere in evidenza 2x. Il risultato sarà:
4x2 + 2x = 2x (2x + 1)
Si noti che quando si esegue la moltiplicazione indicata sul secondo membro (a destra dell'uguaglianza), il risultato sarà appunto il primo membro (parte sinistra dell'uguaglianza), per la proprietà distributiva del moltiplicazione.
2 – Raggruppamento
In considerazione del caso precedente, un polinomio che ha quattro termini può essere scomposto raggruppando, unendo i termini comuni a due a due, e in seguito essere scomposti di nuovo se i risultati lasciano questo possibilità. Il 2x + bx + 2y + per polinomio, ad esempio, può essere scomposto come segue:
2x + bx + 2y + di
x (2 + b) + y (2 + b)
Nota che (2 + b) si ripete in entrambi i nuovi termini. Quindi, possiamo metterlo in evidenza:
x (2 + b) + y (2 + b)
(2 + b)(x + y)
3 – Trinomio quadrato perfetto
Ogni volta che un polinomio è un trinomio quadrato perfetto, verrà scritto equivalente a una delle tre seguenti espressioni disposte a sinistra e in rosso.
X2 + 2x + a2 = (x + a)(x + a)
X2 – 2x + a2 = (x - a)(x - a)
X2 - a2 = (x + a)(x - a)
Il membro destro è la forma fattorizzata del polinomio, che può essere utilizzata per il semplificazione della frazione algebrica.
4 – Somma o differenza di due cubi
Ogni volta che il polinomio è nella forma successiva o può essere scritto su di esso, sarà una somma di due cubi.
X3 + 3x2a + 3x2 + il3 = (x + a)3
X3 – 3x2a + 3x2 - a3 = (x - a)3
Ancora, il membro sinistro, in rosso, è il polinomio che può essere scomposto e riscritto come le espressioni a destra.
Di Luiz Paulo Moreira
Laureato in Matematica
Fonte: Scuola Brasile - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/simplificacao-fracao-algebrica.htm