Distanza tra due punti nello spazio

IL distanza tra due punti è uno dei concetti più importanti di Geometria Analitica. È attraverso questo concetto che vengono costruite la maggior parte delle definizioni e delle proprietà delle figure geometriche.

IL distanza tra due punti è il più piccolo segmento rettilineo che li collega. Pertanto, il compito di trovare una distanza si riduce alla misurazione della lunghezza di un segmento di linea retta.

Solitamente, in Geometria Analitica, le misure di segmenti dritti sono realizzati attraverso il teorema di Pitagora. In questo modo, questo stesso teorema viene utilizzato per arrivare ad una formula per calcolare il distanza tra due punti.

Dimostrazione della formula

Si noti, nella figura sottostante, i punti A = (x_ILsì_IL, z_IL) e B = (x_Bsì_B, z_B). Il primo passo è costruire il segmento più piccolo di retta che li collega. Per fare ciò, collegali semplicemente con una linea retta.

Fatto ciò osservate nella figura sottostante lo stesso segmento visto dall'alto:

Nota che la vista dall'alto riduce la prima parte del problema a

distanza tra due punti sul piano. Useremo il Teorema di Pitagora per trovare il quadrato della lunghezza del segmento A'B', proiezione di AB sul piano xy. Ricorda però che i collari da considerare hanno taglie x_B - X_IL e si_B - si_IL.

Fatto ciò, utilizzeremo il teorema di Pitagora di nuovo per calcolare la lunghezza di AB. Nota che AB è l'ipotenusa di un triangolo rettangolo dove A'B' è gamba e base (questo segmento è parallelo a proiezione del segmento AB e ha la stessa dimensione) e z_B – z_IL è l'altra gamba e l'altezza.

Quindi, per il teorema di Pitagora, abbiamo:

Questo termina la dimostrazione, una volta trovata la lunghezza del segmento AB.

Formula della distanza tra due punti nello spazio

Dai calcoli di cui sopra, il distanza tra due punti nello spazio, indicato con d_AB, è definito come segue:

Per utilizzare questa formula è sufficiente sostituire i valori numerici delle coordinate dei punti A e B ed eseguire i calcoli. Guarda l'esempio:

Calcola la distanza tra i punti A = (0,2.2) e B = (-2, 0, 1):

Di Luiz Paulo Moreira
Laureato in Matematica

Fonte: Scuola Brasile - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/distancia-entre-dois-pontos-no-espaco.htm