IL l'equazione modulare è a equazione che, nel primo o nel secondo membro, ha termini nel modulo. Il modulo, detto anche valore assoluto, è legato alla distanza che un numero ha dallo zero. Trattandosi di distanza, il modulo di un numero è sempre positivo. Risolvere problemi di equazioni modulari richiede l'applicazione della definizione del modulo, di solito dividiamo l'equazione in due casi possibili:
quando ciò che è all'interno del modulo è positivo e
quando ciò che è all'interno del modulo è negativo.
Leggi anche: Qual è la differenza tra una funzione e un'equazione?
un modulo di numeri reali
Per poter risolvere problemi di equazioni modulari, è necessario ricordare la definizione del modulo. Il modulo è sempre lo stesso di distanza di un numero da zero, e per rappresentare il modulo di un numero no, usiamo la barra dritta come segue: |no|. Per calcolare il |no|, abbiamo diviso in due casi:
Pertanto, possiamo dire che |no| è uguale al proprio no quando è un numero positivo o uguale a zero, e, nel secondo caso, |
no| è uguale all'opposto di no se è negativo. Ricorda che l'opposto di un numero negativo è sempre positivo, quindi |no| ha sempre un risultato uguale a un numero positivo.Esempi:
a) |2| = 2
b) |-1| = -(-1) = 1
Vedi anche: Come risolvere l'equazione logaritmica?
Come risolvere un'equazione modulare?
Per trovare la soluzione di un'equazione modulare, è necessario analizzare ciascuna delle possibilità, cioè dividere, sempre in due casi, ciascuno dei moduli. Oltre a conoscere la definizione del modulo, per risolvere equazioni modulari, è fondamentale saper risolvere equazioni polinomiali.
Esempio 1:
|x – 3| = 5
Per trovare la soluzione di questa equazione, è importante ricordare che ci sono due possibili risultati che rendono | makeno| = 5, sono loro, no = -5, poiché |-5| = 5, e anche no = 5, perché |5| = 5. Quindi, usando questa stessa idea, dobbiamo:
I → x – 3 = 5 o
II → x – 3 = -5
Risolvendo una delle equazioni separatamente:
Risoluzione I:
x – 3 = 5
x = 5 + 3
x = 8
Risoluzione II:
x – 3 = -5
x = -5 + 3
x = -2
Quindi ci sono due soluzioni: S = {-2, 8}.
Nota che se x = 8, l'equazione è vera perché:
|x – 3| = 5
|8 – 3| = 5
|5| = 5
Si noti inoltre che se x = -2, anche l'equazione è vera:
|-2 – 3| = 5
|-5| = 5
Esempio 2:
|2x + 3| = 5
Come nell'esempio 1, per trovare la soluzione è necessario dividerla in due casi, secondo la definizione del modulo.
io → 2x + 3 = 5
II → 2x + 3 = -5
Risoluzione I:
2x + 3 = 5
2x = 5 - 3
2x = 2
x = 2/2
x = 1
Risoluzione II:
2x + 3 = -5
2x = -5 - 3
2x = -8
x = -8/2
x = -4
Poi il impostato di soluzioni è: S = {1, -4}.
Esempio 3:
|x + 3| = |2x – 1|
Quando abbiamo l'uguaglianza di due moduli, dobbiamo dividerla in due casi:
1° caso, primo e secondo membro dello stesso segno.
2° caso, primo e secondo membro di segni opposti.
Risoluzione I:
Renderemo i due lati maggiori di zero, cioè rimuoveremo semplicemente il modulo. Possiamo anche fare con entrambi i negativi, ma il risultato sarà lo stesso.
X + 3 ≥ 0 → |x + 3| = x + 3
2x – 1 ≥ 0 → |2x – 1| = 2x - 1
x + 3 = 2x - 1
x – 2x = -1 – 3
x = -4 (-1)
x = 4
Risoluzione II:
Lati di segni opposti. Sceglieremo che un lato sia positivo e l'altro negativo.
Scegliendo:
|x + 3| ≥ 0 → |x + 3| = x + 3
|2x – 1| < 0 → |2x –1| = – (2x – 1)
Quindi, dobbiamo:
x + 3 = – (2x – 1)
x + 3 = – 2x + 1
x + 2x = - 3 + 1
3x = -2
x = -2/3
Quindi, l'insieme delle soluzioni è: S = {4, -2/3}.
Accedi anche a: Cosa sono le equazioni irrazionali?
Esercizi risolti
Domanda 1 - (UFJF) Il numero di soluzioni negative dell'equazione modulare |5x – 6| = x² è:
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
Risoluzione
E alternativo
Vogliamo risolvere l'equazione modulare:
|5x – 6| = x²
Quindi, dividiamolo in due casi:
Risoluzione I:
5x – 6 > 0 → |5x – 6| = 5x - 6
Quindi, dobbiamo:
5x - 6 = x²
-x² + 5x – 6 = 0
Ricorda che il valore delta ci dice quante soluzioni ha l'equazione quadratica:
a = -1
b = 5
c = -6
= b² - 4ac
Δ = 5² – 4 · (-1) · (-6)
Δ = 25 – 24
Δ = 1
Poiché 1 è positivo, allora in questo caso ci sono due soluzioni reali.
Risoluzione II:
|5x – 6| < 0 → |5x – 6| = – (5x – 6)
– (5x – 6) = x²
– 5x + 6 = x²
– x² – 5x + 6 = 0
= b² - 4ac
Δ = (-5)² – 4 · (-1) · (+6)
Δ = 25 + 24
Δ = 49
Poiché è positivo anche in questo caso, allora ci sono due soluzioni reali, quindi il totale delle soluzioni reali è 4.
Domanda 2 - (PUC SP) L'insieme soluzione S dell'equazione |2x – 1| = x - 1 è:
A) S = {0, 2/3}
B) S = {0, 1/3}
C) S = Ø
D) S = {0, -1}
E) S = {0, 4/3}
Risoluzione
Alternativa A
Risoluzione I:
|2x – 1| = 2x - 1
Quindi, dobbiamo:
2x - 1 = x - 1
2x - x = - 1 + 1
x = 0
Risoluzione II:
|2x – 1| = – (2x – 1)
– (2x – 1) = x – 1
-2x + 1 = x - 1
-2x - x = -1 - 1
-3x = -2 (-1)
3x = 2
x = 2/3
Fonte: Scuola Brasile - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacao-modular.htm