Esercizi sui sistemi lineari risolti

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Pratica la tua conoscenza dei sistemi lineari, un importante argomento di matematica che comporta lo studio di equazioni simultanee. Con molte applicazioni pratiche, vengono utilizzati per risolvere problemi che coinvolgono diverse variabili.

Tutte le domande vengono risolte passo dopo passo, in cui utilizzeremo diversi metodi, come: sostituzione, addizione, eliminazione, ridimensionamento e regola di Cramer.

Domanda 1 (metodo di sostituzione)

Determina la coppia ordinata che risolve il seguente sistema di equazioni lineari.

parentesi graffe tabella attributi colonna allineamento estremità sinistra attributi riga con cella con 3 rette x meno 2 y lineare è uguale a 1 fine cella riga con cella con 6 x lineare meno 4 y lineare è uguale a 7 fine cella fine tabella vicino

Vedi Risposta

Risposta: apri parentesi 3 su 4 virgola spazio 5 su 8 chiudi parentesi

Isolando x nella prima equazione:

3 lineare x meno 2 lineare y uguale a 1 3 lineare x uguale a 1 più 2 lineare y lineare x uguale al numeratore 1 più 2 lineare y sul denominatore 3 fine frazione

Sostituendo x nella seconda equazione:

6 parentesi aperte numeratore 1 più 2 y semplice sopra denominatore 3 fine frazione parentesi chiuse più 4 y semplice uguale a 7 numeratore 6 più 12 y semplice sopra denominatore 3 fine frazione più 4 y semplice uguale 7 numeratore 6 più 12 y semplice su denominatore 3 fine frazione più numeratore 3.4 y semplice su denominatore 3 fine della frazione uguale a 7 numeratore 6 più 12 y semplice più 12 y semplice su denominatore 3 fine della frazione uguale a 7 numeratore 6 più 24 y semplice su denominatore 3 fine della frazione è uguale a 7 6 più 24 y lineare è uguale a 7,3 6 più 24 y lineare è uguale a 21 24 y lineare è uguale a 21 meno 6 24 y lineare è uguale a 15 y lineare è uguale a 15 su 24 uguale a 5 su 8

Sostituendo il valore di y nella prima equazione.

3 x meno 2 y è uguale a 1 3 x meno 2 5 su 8 è uguale a 1 3 x meno 10 su 8 è uguale a 1 3 x è uguale a 1 più 10 su 8 3 x è uguale a 8 su 8 più 10 su 8 3 x è uguale a 18 su 8 x è uguale a numeratore 18 su denominatore 8.3 fine frazione x è uguale a 18 su 24 è uguale a 3 su 4

Quindi la coppia ordinata che risolve il sistema è:
apri parentesi 3 su 4 virgola spazio 5 su 8 chiudi parentesi

Domanda 2 (metodo di ridimensionamento)

La soluzione del seguente sistema di equazioni lineari è:

parentesi graffe tabella attributi colonna allineamento estremità sinistra degli attributi riga con cella con x lineare meno y lineare più z lineare uguale a 6 fine cella riga con cella con spazio spazio 2 y dritta più 3 z retta è uguale a 8 fine della cella riga con cella con spazio spazio spazio spazio spazio spazio spazio spazio spazio spazio spazio spazio 4 z dritta è uguale a 8 fine della cella fine della tabella vicino

Vedi Risposta

Risposta: x = 5, y = 1, z = 2

Il sistema è già in forma scaglionata. La terza equazione ha due coefficienti zero (y = 0 e x = 0), la seconda equazione ha un coefficiente zero (x = 0) e la terza equazione non ha coefficienti zero.

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In un sistema a scaglioni, risolviamo "dal basso verso l'alto", ovvero iniziamo con la terza equazione.

4 z è uguale a 8 z è uguale a 8 su 4 è uguale a 2

Passando all'equazione in alto, sostituiamo z = 2.

2 retta più 3 retta z è uguale a 8 2 retta y più 3.2 è uguale a 8 2 retta y più 6 è uguale a 8 2 retta y è uguale a 8 meno 6 2 retta y è uguale a 2 retta y è uguale a 2 su 2 è uguale a 1

Infine, sostituiamo z = 2 e y = 1 nella prima equazione, per ottenere x.

retta x meno retta y più retta z è uguale a 6 retta x meno 1 più 2 è uguale a 6 retta x più 1 è uguale a 6 retta x è uguale a 6 meno 1 retta x è uguale a 5

Soluzione

x = 5, y = 1, z = 2

Domanda 3 (regola o metodo di Cramer)

Risolvi il seguente sistema di equazioni lineari:

parentesi graffe tabella attributi colonna allineamento estremità sinistra attributi riga con cella con x retta meno y dritta è uguale a 4 spazio stretto fine della cella riga con cella con 2 dritta x più dritta y è uguale a 8 fine della cella fine della tabella vicino

Vedi Risposta

Risposta: x = 4, y = 0.

Utilizzando la regola di Cramer.

Passo 1: determinare i determinanti D, Dx e Dy.

La matrice dei coefficienti è:

parentesi aperte riga della tabella con 1 cella meno 1 fine cella riga con 2 1 fine tabella chiudi parentesi

Il suo determinante:
D = 1. 1 - 2. (-1)
D = 1 - (-2) = 1 + 2 = 3

Per il calcolo di Dx, sostituiamo la colonna dei termini di x con la colonna dei termini indipendenti.

parentesi aperte tabella riga con 4 celle meno 1 fine cella riga con 8 1 fine tabella chiudi parentesi

Dx = 4. 1 - 8. (-1)
Dx = 4 + 8 = 12

Per il calcolo di Dy, sostituiamo i termini di y con i termini indipendenti.

aprire parentesi tabella riga con 1 4 riga con 2 8 fine tabella chiudere parentesi

Dy = 1. 8 - 2. 4
Dy = 8 - 8
Dy = 0

passo 2: determinare x e y.

Per determinare x, facciamo:

scala x è uguale a Dx su scala D è uguale a 12 su 3 è uguale a 4

Per determinare y, facciamo:

retta y è uguale a Dy su retta D è uguale a 0 su 3 è uguale a 0

domanda 4

Un venditore di magliette e cappellini durante un evento sportivo ha venduto 3 magliette e 2 cappellini, per un totale di R$ 220,00. Il giorno successivo, ha venduto 2 magliette e 3 cappellini, raccogliendo R $ 190,00. Quale sarebbe il prezzo di una maglietta e il prezzo di un berretto?

a) Maglietta: BRL 60,00 | Limite: BRL 40,00

b) Maglietta: BRL 40,00 | Limite: BRL 60,00

c) Maglietta: BRL 56,00 | Tariffa: BRL 26,00

d) Maglietta: BRL 50,00 | Cap: BRL 70,00

e) Maglietta: BRL 80,00 | Limite: BRL 30,00

Risposta spiegata

Etichettiamo il prezzo delle magliette c e il prezzo dei cappelli b.

Per il primo giorno abbiamo:

3c + 2b = 220

Per il secondo giorno abbiamo:

2c + 3b = 190

Formiamo due equazioni con due incognite ciascuna, c e b. Quindi abbiamo un sistema di equazioni lineari 2x2.

parentesi graffe aperte tabella attributi colonna allineamento estremità sinistra attributi riga con cella con 3 c diritte più 2 b retta uguale a 220 fine cella riga con cella con 2 c dritta più 3 b dritta uguale a 190 fine cella fine tabella vicino

Risoluzione

Usando la regola di Cramer:

1° passo: determinante della matrice dei coefficienti.

dritto spazio D parentesi aperte tabella riga con 3 2 riga con 2 3 fine tabella parentesi chiuse uguale 3.3 meno 2.2 uguale 9 meno 4 uguale 5

2° passo: determinante Dc.

Sostituiamo la colonna di c con la matrice dei termini indipendenti.

Dc spazio apre parentesi riga tabella con 220 2 riga con 190 3 fine tabella chiudi parentesi pari a 220,3 meno 2.190 uguale a 660 meno 380 uguale a 280

3° passo: determinante Db.

Db aprire parentesi tabella riga con 3 220 riga con 2 190 fine tabella chiudere parentesi pari a 3 spazio. spazio 190 spazio meno spazio 2 spazio. lo spazio 220 lo spazio è uguale allo spazio 570 meno 440 è uguale a 130

4° passaggio: determinare il valore di c e b.

la retta c è uguale a Dc sulla retta D è uguale a 280 su 5 è uguale a 56 la retta b è uguale a Db sulla retta D è uguale a 130 su 5 è uguale a 26

Risposta:

Il prezzo della maglietta è di R$ 56,00 e del cappellino di R$ 26,00.

domanda 5

Un cinema costa R$ 10,00 a biglietto per gli adulti e R$ 6,00 a biglietto per i bambini. In un giorno sono stati venduti 80 biglietti e la raccolta totale è stata di R$ 700,00. Quanti biglietti di ciascun tipo sono stati venduti?

a) Adulti: 75 | Bambini: 25

b) Adulti: 40 | Bambini: 40

c) Adulti: 65 | Bambini: 25

d) Adulti: 30 | Bambini: 50

e) Adulti: 25 | Bambini: 75

Risposta spiegata

Lo chiameremo come IL il prezzo del biglietto per gli adulti e w per bambini.

In relazione al numero totale di biglietti abbiamo:

a + c = 80

Per quanto riguarda il valore ottenuto abbiamo:

10a + 6c = 700

Formiamo un sistema di equazioni lineari con due equazioni e due incognite, cioè un sistema 2x2.

parentesi graffe tabella attributi colonna allineamento estremità sinistra attributi riga con cella dalla più dritta alla più dritta c è uguale a 80 fine cella riga con cella con 10 diritta più 6 diritta c è uguale a 700 fine cella fine tabella vicino

Risoluzione

Useremo il metodo di sostituzione.

Isolando a nella prima equazione:

a = 80 - c

Sostituendo a nella seconda equazione:

10.(80 - c) + 6c = 700

800 -10c + 6c = 700

800 - 700 = 10c - 6c

100 = 4c

c = 100/4

c = 25

Sostituendo c nella seconda equazione:

6a + 10c = 700

6a+10. 25 = 700

6 anni + 250 = 700

6a = 700 - 250

6a = 450

a = 450/6

un = 75

domanda 6

Un negozio vende magliette, pantaloncini e scarpe. Il primo giorno sono state vendute 2 magliette, 3 pantaloncini e 4 paia di scarpe, per un totale di R$ 350,00. Il secondo giorno sono state vendute 3 magliette, 2 pantaloncini e 1 paio di scarpe, per un totale di R$ 200,00. Il terzo giorno sono state vendute 1 maglietta, 4 pantaloncini e 2 paia di scarpe, per un totale di R$ 320,00. Quanto costano una maglietta, pantaloncini e un paio di scarpe?

a) Maglietta: BRL 56,00 | Bermude: R$ 24,00 | Scarpe: BRL 74,00

b) Maglietta: BRL 40,00 | Bermude: R$ 50,00 | Scarpe: BRL 70,00

c) Maglietta: BRL 16,00 | Bermude: R$ 58,00 | Scarpe: BRL 36,00

d) Maglietta: BRL 80,00 | Bermude: R$ 50,00 | Scarpe: BRL 40,00

e) Maglietta: BRL 12,00 | Bermude: R $ 26,00 | Scarpe: BRL 56,00

Risposta spiegata

c è il prezzo delle camicie;
b è il prezzo dei pantaloncini;
s è il prezzo delle scarpe.

Per il primo giorno:

2c + 3b + 4s = 350

Per il secondo giorno:

3c + 2b + s = 200

Per il terzo giorno:

c + 4b + 2s = 320

Abbiamo tre equazioni e tre incognite, che formano un sistema 3x3 di equazioni lineari.

parentesi graffe tabella attributi colonna allineamento sinistra attributi riga con cella com 2 c lineare più 3 b lineare più 4 s lineare uguale a 350 fine cella riga con cella con 3 c lineare più 2 b lineare più s lineare è uguale a 200 fine cella riga con cella con c lineare più 4 b lineare più 2 s lineare è uguale a 320 fine cella fine tabella vicino

Utilizzando la regola di Cramer.

La matrice dei coefficienti è

aprire parentesi tabella riga con 2 3 4 riga con 3 2 1 riga con 1 4 2 fine tabella chiudere parentesi

Il suo determinante è D = 25.

La matrice di colonna delle risposte è:

aprire parentesi tabella riga con 350 riga con 200 riga con 320 fine tabella chiudere parentesi

Per calcolare Dc, sostituiamo la colonna matrice delle risposte con la prima colonna nella matrice dei coefficienti.

aprire parentesi tabella riga con 350 3 4 riga con 200 2 1 riga con 320 4 2 fine tabella chiudere parentesi

cc = 400

Per il calcolo di Db:

aprire parentesi tabella riga con 2 350 4 riga con 3 200 1 riga con 1 320 2 fine tabella chiudere parentesi

DB = 1450

Per il calcolo di Ds:

aprire parentesi tabella riga con 2 3 350 riga con 3 2 200 riga con 1 4 320 fine tabella chiudere parentesi

DS = 900

Per determinare c, b e s, dividiamo i determinanti Dc, Db e Ds per il determinante principale D.

retta c è uguale a Dc su retta D è uguale a 400 su 25 è uguale a 16 retta b è uguale a Db su retta D è uguale a 1450 su 25 è uguale a 58 retta s è uguale a Ds su retta D è uguale a 900 su 25 è uguale a 36

domanda 7

Un ristorante offre tre opzioni di piatto: carne, insalata e pizza. Il primo giorno sono stati venduti 40 piatti di carne, 30 insalate e 10 pizze, per un totale di R$ 700,00 di vendite. Il secondo giorno sono stati venduti 20 piatti di carne, 40 insalate e 30 pizze, per un totale di R$ 600,00 di vendita. Il terzo giorno sono stati venduti 10 piatti di carne, 20 insalate e 40 pizze, per un totale di R$ 500,00 di vendita. Quanto costerebbe ogni piatto?

a) carne: BRL 200,00 | insalata: R$ 15,00 | pizza: BRL 10.00

b) carne: R$ 150,00 | insalata: R$ 10,00 | pizza: BRL 60,00

c) carne: BRL 100,00 | insalata: R$ 15,00 | pizza: BRL 70,00

d) carne: BRL 200,00 | insalata: R$ 10,00 | pizza: BRL 15.00

e) carne: BRL 140,00 | insalata: R$ 20,00 | pizza: BRL 80,00

Risposta spiegata

Usando:

c per la carne;
s per insalata;
p per la pizza.

Il primo giorno:

40 rette c più 30 rette s più 10 dritte p fa 7000

Nella seconda giornata:

Il terzo giorno:

10 retta c più 20 retta s più 40 retta p fa 5000

Il prezzo di ogni piatto può essere ottenuto risolvendo il sistema:

parentesi graffe tabella attributi colonna allineamento estremità sinistra degli attributi riga con cella con 40 spazio c dritto più spazio 30 spazio s dritto più spazio 10 rettilineo p uguale a 7000 fine della linea di cella con cella con 20 rettilineo c spazio più spazio 40 rettilineo s spazio più spazio 30 rettilineo p uguale 6000 fine cella riga con cella con 10 lineare c spazio più spazio 20 lineare s spazio più spazio 40 lineare p uguale a 5000 fine cella fine tabella vicino

Risoluzione

Utilizzando il metodo di eliminazione.

Moltiplica 20c + 40s + 30p = 6000 per 2.

parentesi quadre aperte riga della tabella con cella con 40 c dritta più 30 s dritta più 10 p dritta uguale a 7000 fine cella riga con cella con 40 c dritta più 80 s dritta più 60 straight p è uguale a 12000 fine cella riga con cella con 10 straight c più 20 straight s più 40 straight p è uguale a 5000 fine cella end of table closes parentesi quadre

Sottrai la seconda equazione matriciale ottenuta dalla prima.

50 s diritte più 50 p diritte equivalgono a 5000

Nella matrice sopra, sostituiamo questa equazione con la seconda.

riga della tabella con parentesi quadre aperte con cella con 40 c diritta più 30 s diritta più 10 p diritta uguale a 7000 fine cella riga con cella con 50 s diritta più 50 p lineare è uguale a 5000 fine cella riga con cella con 10 c lineare più 20 s lineare più 40 p lineare è uguale a 5000 fine cella fine tabella chiude parentesi quadre

Moltiplichiamo la terza equazione sopra per 4.

Sottraendo la terza dalla prima equazione, otteniamo:

50 s diritte più 150 p diritte equivalgono a 13000

Sostituendo l'equazione ottenuta con la terza.

Sottraendo le equazioni due e tre, abbiamo:

parentesi quadre aperte riga della tabella con cella con 40 c più 30 s più 10 p uguale a 7000 fine cella riga con cella con 50 s più 50p è uguale a 5000 fine cella riga con cella con 100p è uguale a 8000 fine cella fine tabella si chiude parentesi quadre

Dalla terza equazione, otteniamo p = 80.

Sostituendo p nella seconda equazione:

Anni '50 + 50,80 = 5000

Anni '50 + 4000 = 5000

50 = 1000

s = 1000/50 = 20

Sostituendo i valori di s e p nella prima equazione:

40c + 30,20 + 10,80 = 7000

40c + 600 + 800 = 7000

40c = 7000 - 600 - 800

40c = 5600

c = 5600 / 40 = 140

Soluzione

p=80, s=20 e c=140

domanda 8

(UEMG) Nel piano, il sistema parentesi graffe aperte tabella attributi colonna allineamento sinistra attributi estremità riga con cella con 2 x diritta più 3 diritte y è uguale a meno 2 fine cella riga con cella con 4 retta x meno 6 retta y è uguale a 12 fine cella fine tabella vicino rappresenta una coppia di linee

a) coincidente.

b) distinte e parallele.

c) linee concorrenti nel punto ( 1, -4/3 )

d) linee concorrenti nel punto ( 5/3, -16/9 )

Risposta spiegata

Moltiplicando la prima equazione per due e sommando le due equazioni:

parentesi graffe tabella attributi colonna allineamento sinistra attributi riga con cella con A retta due punti 4 x più 6 y uguale a meno 4 fine cella riga con cella con retta B due punti 4 retta x meno 6 retta y è uguale a 12 fine cella fine tabella chiudi spazio A spazio più retta spazio B è uguale a 8 retta x è uguale a 8 retta x è uguale a 8 su 8 è uguale 1

Sostituendo x nell'equazione A:

4.1 spazio più spazio 6 y spazio è uguale a spazio meno 4 spazio spazio6 y spazio è uguale a spazio meno 4 spazio meno lo spazio 46 y è uguale a meno 8y è uguale al numeratore meno 8 sul denominatore 6 la fine della frazione è uguale a meno 4 circa 3

domanda 9

(PUC-MINAS) Un certo laboratorio ha inviato 108 ordini alle farmacie A, B e C. È noto che il numero di ordini inviati alla farmacia B era il doppio del numero totale di ordini inviati alle altre due farmacie. Inoltre, tre ordini più della metà dell'importo spedito alla farmacia A sono stati spediti alla farmacia C.

Sulla base di queste informazioni, è CORRETTO affermare che il numero totale di ordini inviati alle farmacie B e C è stato

a) 36

b) 54

c) 86

g) 94

Risposta spiegata

Secondo la dichiarazione abbiamo:

LA + B + C = 108.

Inoltre, la quantità di B era il doppio di quella di A + C.

B = 2(A + C)

Tre ordini sono stati spediti alla farmacia C, più della metà della quantità spedita alla farmacia A.

DO = LA/2 + 3

Abbiamo equazioni e tre incognite.

parentesi graffe tabella attributi colonna allineamento estremità sinistra degli attributi riga con cella con retta A più dritta B più dritta C uguale a 108 fine cella riga con cella con B dritto uguale a 2 parentesi sinistra A dritto più C dritto parentesi destra fine della cella riga con cella con C dritto uguale A dritto su 2 più 3 fine cella fine tabella vicino

Utilizzando il metodo di sostituzione.

Tappa 1: sostituite la terza con la seconda.

rettilineo B uguale a 2 rettilineo A spazio più spazio 2 rettilineo Creto B uguale a 2 rettilineo A spazio più spazio 2 apre parentesi quadre A su 2 più 3 parentesi chiusa B uguale a 2 diritto A spazio più spazio A spazio più spazio 6 quadrato B uguale 3 quadrato A spazio più spazio 6

Passaggio 2: sostituire il risultato ottenuto e la terza equazione nella prima.

retta A più retta B più retta spazio C è uguale a 108 retta A più spazio 3 retta A più 6 spazio più retta spazio A su 2 più 3 spazio è uguale a spazio 1084 retta A spazio più spazio lineare A su 2 è uguale a 108 spazio meno spazio 9numeratore 9 A lineare su denominatore 2 fine frazione è uguale a 999 A lineare spazio è uguale a spazio 99 spazio. spazio 29 retta A spazio è uguale a spazio 198retta A spazio è uguale a spazio 198 su 9retta A spazio è uguale a spazio 22

Passaggio 3: sostituire il valore di A per determinare i valori di B e C.

B = 3A + 6 = 3,22 + 6 = 72

Per C:

la linea C è uguale a 22 su 2 più 3 la linea C è uguale a 11 più 3 è uguale a 14

Passaggio 4: somma i valori di B e C.

72 + 14 = 86

domanda 10

(UFRGS 2019) In modo che il sistema di equazioni lineari parentesi graffe aperte tabella attributi colonna allineamento sinistra attributi estremità riga con cella con retta x plus y lineare uguale a 7 fine della cella riga con cella con ax più 2 y lineare uguale a 9 fine della cella fine della tabella vicino possibile e determinato, è necessario e sufficiente che

a) a ∈ R.

b) a = 2.

c) a = 1.

d) a ≠ 1.

c) a ≠ 2.

Risposta spiegata

Uno dei modi per classificare un sistema come possibile e determinato è attraverso il metodo di Cramer.

La condizione per questo è che le determinanti siano diverse da zero.

Rendendo uguale a zero il determinante D della matrice principale:

aprire parentesi tabella riga con 1 1 riga con 2 fine tabella chiudere parentesi non uguali 01 spazio. spazio 2 spazio meno spazio per spazio. spazio 1 diverso 02 spazio minore di diverso 02 diverso da

Per saperne di più sui sistemi lineari:

Sistemi Lineari: cosa sono, tipologie e come si risolvono
Sistemi di equazioni
Ridimensionamento dei sistemi lineari
Regola di Cramer

Per altri esercizi:

Sistemi di equazioni di 1° grado

AST, Raffaele. Esercizi sui sistemi lineari risolti.Tutta la materia, [nd]. Disponibile in: https://www.todamateria.com.br/exercicios-de-sistemas-lineares-resolvidos/. Accedi a:

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