UN tangente (abbreviato in tg o tan) è a funzione trigonometrica. Per determinare la tangente di un angolo possiamo utilizzare diverse strategie: calcolare il rapporto tra seno e coseno dell'angolo, se conosciuti; usa una tabella tangente o una calcolatrice; calcola il rapporto tra la gamba opposta e quella adiacente, se l'angolo in questione è interno (acuto) di un triangolo rettangolo, tra gli altri.
Leggi anche: A cosa serve il cerchio trigonometrico?
Argomenti di questo articolo
- 1 - Riassunto sulla tangente
- 2 - Tangente di un angolo
- 3 - Tangente di angoli notevoli
-
4 - Come calcolare la tangente?
- → Grafico della funzione tangente
- 5 - Legge delle tangenti
- 6 - Rapporti trigonometrici
- 7 - Esercizi risolti sulla tangente
riassunto sulla tangente
La tangente è una funzione trigonometrica.
La tangente di un angolo interno a un triangolo rettangolo è il rapporto tra il lato opposto e il lato adiacente.
La tangente di qualsiasi angolo è il rapporto tra il seno e il coseno di quell'angolo.
La funzione \(f (x)=tg\ x\) è definito per gli angoli X espresso in radianti, tale che cos \(cos\ x≠0\).
Il grafico della funzione tangente mostra asintoti verticali per i valori, dove \(x= \frac{π}2+kπ\), con K intero, come \(x=-\frac{π}2\).
La legge delle tangenti è un'espressione che associa, in ogni triangolo, le tangenti di due angoli ei lati opposti a quegli angoli.
Tangente di un angolo
Se α è uno angolo interno di a triangolo rettangolo, la tangente di α è il rapporto tra la lunghezza della gamba opposta e la lunghezza della gamba adiacente:
Per ogni angolo α, la tangente è il rapporto tra il seno α e il coseno di α, dove \(cos\ α≠0\):
\(tg\ α=\frac{sin\ α}{cos\ α}\)
Si noti che se α è un angolo nel 1° o nel 3° quadrante, la tangente avrà segno positivo; ma se α è un angolo del 2° o 4° quadrante, la tangente avrà segno negativo. Questa relazione risulta direttamente dalla regola dei segni tra i segni di seno e coseno per ogni α.
Importante: Si noti che la tangente non esiste per valori di α dove \(cos\ α=0\). Questo accade per angoli di 90°, 270°, 450°, 630° e così via. Per rappresentare questi angoli in modo generale, usiamo la notazione in radianti: \(\frac{ π}2+kπ\), con K Totale.
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Tangente di angoli notevoli
Usando l'espressione \(tg\ α=\frac{sin\ α}{cos\ α}\), possiamo trovare le tangenti di angoli notevoli, che sono gli angoli di 30°, 45° e 60°:
\(tg\ 30°=\frac{sin\ 30°}{cos\ 30°}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt3}{2}}=\frac{1 }{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}\)
\(tg\ 45°=\frac{sin\ 45°}{cos\ 45°} = \frac{\frac{\sqrt2}{2}}{\frac{\sqrt2}{2}}=1\)
\(tg\ 60°=\frac{sin\ 60°}{cos\ 60°}=\frac{\frac{\sqrt3}{2}}{\frac{1}2}=\sqrt3\)
Interessante: Oltre a questi, possiamo analizzare i valori tangenti per gli angoli di 0° e 90°, anch'essi molto usati. Poiché sin 0° = 0, concludiamo che tan 0° = 0. Per l'angolo di 90°, poiché cos90° = 0, la tangente non esiste.
Come calcolare la tangente?
Per calcolare la tangente, usiamo la formula tg α=sin αcos α, usata per calcolare la tangente di qualsiasi angolo. Diamo un'occhiata ad alcuni esempi di seguito.
Esempio 1
Trova la tangente dell'angolo α nel triangolo rettangolo sottostante.
Risoluzione:
Per quanto riguarda l'angolo α, il lato della misura 6 è il lato opposto e il lato della misura 8 è il lato adiacente. Come questo:
\(tg\ α=\frac{6}8=0.75\)
Esempio 2
Sapendo che \(peccato\ 35°≈0.573\) e cos\(35°≈0,819\), trovare il valore approssimativo per la tangente di 35°.
Risoluzione:
Poiché la tangente di un angolo è il rapporto tra il seno e il coseno di quell'angolo, abbiamo:
\(tg\ 35°=\frac{sin\ 35°}{cos\ 35°}= \frac{0.573}{0.819}\)
\(tg\ 35°≈0.700\)
funzione tangente
La funzione fx=tg x è definita per gli angoli X espresso in radianti, così che \(cos\ x≠0\). Ciò significa che il dominio della funzione tangente è espresso da:
\(D(tg)=\{x∈ \mathbb{R}:x≠\frac{π}2+kπ, k∈ \mathbb{Z} \}\)
Inoltre, tutti numeri reali sono l'immagine della funzione tangente.
→ Grafico della funzione tangente
Si noti che il grafico della funzione tangente ha asintoti verticali per i valori dove \(x= \frac{π}2+kπ\), con K intero, come \( x=-\frac{π}2\). Per questi valori di X, la tangente non è definita (ovvero la tangente non esiste).
Vedi anche: Cos'è il dominio, la gamma e l'immagine?
legge delle tangenti
La legge delle tangenti è a espressione che associa, in a triangolo qualsiasi, le tangenti di due angoli ei lati opposti a quegli angoli. Ad esempio, considera gli angoli α e β del triangolo ABC sotto. Si noti che il lato CB = a è opposto all'angolo α e che il lato AC = b è opposto all'angolo β.
La legge delle tangenti afferma che:
\(\frac{a-b}{a+b}=\frac{tg\ [\frac{1}2(α-β)]}{tg\ [\frac{1}2 (α+β)]}\ )
rapporti trigonometrici
Al rapporti trigonometrici sono le funzioni trigonometriche lavorate sul triangolo rettangolo. Interpretiamo questi rapporti come relazioni tra i lati e gli angoli di questo tipo di triangolo.
Esercizi risolti sulla tangente
domanda 1
Sia θ un angolo del secondo quadrante tale che sin\(peccato\ θ≈0.978\), quindi tgθ è approssimativamente:
A) -4.688
B) 4.688
C) 0,2086
D) -0,2086
E) 1
Risoluzione
Alternativa A
Se \(peccato\ θ≈0.978\), quindi, utilizzando l'identità fondamentale della trigonometria:
\(sen^2 θ+cos^2 θ=1\)
\(0.978^2+cos^2θ=1\)
\(cos^2θ=1-0.956484\)
\(cos\ θ=±\sqrt{0.043516}\)
Poiché θ è un angolo del secondo quadrante, allora cosθ è negativo, quindi:
\(cos\ θ≈- 0.2086\)
Presto:
\(tg\ θ=\frac{sin\ θ}{cos\ θ}=\frac{0.978}{-0.2086}=-4.688\)
Domanda 2
Considera un triangolo rettangolo ABC con i cateti AB = 3 cm e AC = 4 cm. La tangente dell'angolo B è:
UN) \(\frac{3}4\)
B) \(\frac{3}5\)
W) \(\frac{4}3\)
D) \(\frac{4}5\)
E) \(\frac{5}3\)
Risoluzione:
Alternativa C
Con l'affermazione, la gamba opposta all'angolo \(\cappello{B}\) è l'AC che misura 4 cm e la gamba adiacente all'angolo \(\cappello{B}\) è AB con una misura di 3 cm. Come questo:
\(tg\hat{C}=\frac{4}3\)
Di Maria Luiza Alves Rizzo
Insegnante di matematica
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