O apotema di un poligono è un segmento i cui estremi sono al centro del poligono e al punto medio di uno dei lati. Questo segmento forma un angolo di 90° con il rispettivo lato del poligono.
Per calcolare la misura dell'apotema è necessario considerare le caratteristiche del poligono considerato. A seconda della forma geometrica è possibile costruire una formula per ottenere questa misura. Un'osservazione importante è che la misura dell'apotema di un poligono regolare è uguale alla misura del raggio della circonferenza inscritta nel poligono.
Leggi anche: Cos'è la bisettrice?
Riassunto sull'apotema
L'apotema è il segmento di un poligono che collega il centro (punto d'incontro delle bisettrici perpendicolari) al punto medio di uno dei lati.
L'angolo tra l'apotema e il rispettivo lato del poligono misura 90°.
La misura dell'apotema di un poligono regolare è uguale alla misura del raggio del cerchio inscritto nel poligono.
L'apotema OM di un triangolo equilatero di lato l è dato dalla formula
\(OM = \frac{l\sqrt3}6\)
L'apotema OM di un quadrato di lato l è dato dalla formula
\(OM = \frac{l}2\)
L'apotema OM di un esagono regolare su un lato l è dato dalla formula
\(OM = \frac{l\sqrt3}2\)
L'apotema di una piramide è il segmento che unisce il vertice al punto medio di uno degli spigoli della base, e la sua misura può essere ricavata dal teorema di Pitagora.
Esempi di apotema
Per trovare l'apotema di un poligono, dobbiamo costruire il segmento di linea che unisce il centro del poligono con il punto medio di uno dei lati. Ricorda che il centro di un poligono è dove si incontrano le bisettrici.
In questi esempi, l'apotema è stato considerato in poligoni piani. Tuttavia, esiste un oggetto spaziale che ha un diverso tipo di apotema: la piramide.
In una piramide ci sono due tipi di apotema: l'apotema della base, che è l'apotema del poligono che forma la base della piramide, e l'apotema della piramide, che è il segmento che unisce il vertice al punto medio di un bordo di base (ovvero, è l'altezza di una faccia laterale della base). piramide).
Nell'esempio di base quadrata qui sotto, il segmento OM è l'apotema della base e il segmento VM è l'apotema della piramide, con M che è il punto medio di BC.
Quali sono le formule dell'apotema?
Conoscendo le caratteristiche di un poligono, in particolare dei poligoni regolari, possiamo sviluppare formule per calcolare la misura dell'apotema. Vediamo quali sono queste formule per i principali poligoni regolari.
Formula dell'apotema del triangolo equilatero
Al caso triangolo equilatero, l'altezza e la mediana relative a un dato lato sono le stesse. Ciò significa che il centro del poligono coincide con il baricentro del triangolo. Pertanto, il punto O divide l'altezza AM come segue:
\(AO = \frac{2}3 AM\) È \(OM=\frac{1}3 AM\)
Ricorda che la misura di altezza di un triangolo equilatero l è dato da:
\(Altezza\ triangolo\ equilatero=\frac{l\sqrt3}2\)
Quindi, essendo AM l'altezza del triangolo equilatero ABC e il segmento OM l'apotema del triangolo, possiamo elaborare la seguente espressione per la misura di OM, considerando che il lato del triangolo misura l:
\(OM =\frac{1}3 AM = \frac{1}3 ⋅\frac{l\sqrt3}2\)
\(OM = \frac{l\sqrt3}6\)
Apotema della formula quadrata
Nel caso del quadrato, la misura dell'apotema corrisponde alla metà della lunghezza del lato. Quindi, se O è il centro del quadrato, M è il punto medio di uno dei lati, e l è la lunghezza del lato del quadrato, quindi la formula per l'apotema OM è
\(OM=\frac{l}2\)
Formula dell'apotema dell'esagono regolare
Nell'esagono regolare, l'apotema corrisponde all'altezza di un triangolo equilatero con i vertici alle due estremità di uno dei lati e al centro del poligono. Nell'esempio seguente, l'apotema OM dell'esagono regolare è l'altezza del triangolo equilatero OCD, dove M è il punto medio di CD.
Come accennato in precedenza, l'altezza di un triangolo equilatero è nota. Quindi, se il lato di un esagono regolare misura l, allora la formula per l'apotema OM è
\(OM =\frac{l\sqrt3}2\)
Formula dell'apotema piramidale
La misura dell'apotema della piramide si ottiene con il Aiuto teorema di pitagora. Nell'esempio seguente, in una piramide quadrata, il triangolo VOM è un rettangolo, con cateti VO e OM e ipotenusa VM. Nota che VO è l'altezza della piramide, OM è l'apotema della base e VM è l'apotema della piramide.
Quindi, per determinare la misura dell'apotema della piramide, dobbiamo applicare il teorema di Pitagora:
\((VM)^2=(VO)^2+(OM)^2\)
Attento! VM è l'altezza di un triangolo isoscele, non di un triangolo equilatero. Quindi, in questo caso, non possiamo usare la formula per l'altezza di un triangolo equilatero.
Come si calcola l'apotema?
Per calcolare l'apotema di un poligono o della piramide, possiamo utilizzare le formule costruite oppure associare l'apotema al raggio del cerchio inscritto.
Esempio 1: Supponiamo che in un triangolo equilatero sia inscritta una circonferenza di raggio 3 cm. Qual è la misura dell'apotema di questo triangolo?
Poiché l'apotema di un poligono ha la stessa misura del raggio del cerchio inscritto, l'apotema del triangolo misura 3 cm.
Esempio 2: Quanto misura l'apotema di un esagono regolare di lato 4 cm?
Usando la formula per l'apotema di un esagono regolare con \(l=4\) cm, dobbiamo
\(Misura\ di\ apotema=\frac{4\sqrt3}2=2\sqrt3\ cm\)
Leggi anche: Tutto sui punti notevoli di un triangolo
Esercizi risolti sull'apotema
domanda 1
Se una piramide alta 4 cm ha un apotema di base di 3 cm, allora la misura dell'apotema della piramide è
a) 5 cm
b) 6 cm
c) 7 cm
g) 8 cm
e) 9 cm
Risoluzione:
In una piramide, possiamo costruire un triangolo rettangolo in cui un cateto è l'apotema della base, l'altro cateto è l'altezza della piramide e l'ipotenusa è l'apotema della piramide. Quindi, applicando il teorema di Pitagora all'ipotenusa di misura x,
\(x^2=3^2+4^2\)
\(x = 5\cm\)
Alternativa A.
Domanda 2
Se l'apotema di un quadrato è y cm, allora il lato del quadrato è
IL) \(\frac{1}3a \) cm
B) \(\frac{1}2y \) cm
c) e cm
d) 2y cm
e) 3y cm
Risoluzione
L'apotema di un quadrato è lungo la metà del lato del quadrato. Pertanto, se l'apotema misura y cm, il quadrato misura 2y cm.
Alternativa D.
Di Maria Luiza Alves Rizzo
Insegnante di matematica