Matrice trasposta: cos'è, proprietà, esempi

IL matrice trasposta della matrice M è la matrice M^t. si tratta di Sede centrale che stiamo per ottenere quando riscriviamo la matrice M cambiando la posizione delle righe e delle colonne, trasformando la prima riga di M nella prima colonna di M^t, la seconda riga di M nella seconda colonna di M^t, e così via.

Se la matrice M ha m linee e no colonne, la sua matrice trasposta, cioè M^t, avrà no linee e m colonne. Ci sono proprietà specifiche per la matrice trasposta.

Leggi anche: Cos'è una matrice triangolare?

Come si ottiene la matrice trasposta?

Data una matrice A_mxn, si sa come matrice trasposta da A alla matrice A^t_{n x m}. Per trovare la matrice trasposta, basta cambiare la posizione delle righe e delle colonne della matrice A. Qualunque sia la prima riga della matrice A sarà la prima colonna della matrice trasposta A^t, la seconda riga della matrice A sarà la seconda colonna della matrice A^t, e così via.

Algebricamente, sia M = (m_ij)_mxn, la matrice trasposta di M è M^t = (m_ji) _{n x m}.

Esempio:

Trova la matrice trasposta dalla matrice:

instagram story viewer

Matrix M è una matrice 3x5, quindi la sua trasposizione sarà 5x3. Per trovare la matrice trasposta, faremo della prima riga della matrice M la prima colonna della matrice M^t.

La seconda riga della matrice M sarà la seconda colonna della matrice trasposta:

Infine, la terza riga della matrice M diventerà la terza colonna della matrice M.^t:

matrice simmetrica

In base al concetto di matrice trasposta è possibile definire cosa sia una matrice simmetrica. Una matrice è nota come simmetrica quando è uguale alla tua matrice trasposta, cioè data la matrice M, M = M^t.

Perché ciò accada, la matrice deve essere quadrata, il che significa che affinché la matrice sia simmetrica, il numero di righe deve essere uguale al numero di colonne.

Esempio:

Quando analizziamo i termini sopra la diagonale principale e i termini sotto la diagonale principale della matrice S, si vede che esistono termini che loro sono la stessa cosa, che lo rende noto come simmetrico proprio per la simmetria della matrice rispetto alla diagonale principale.

Se troviamo la trasposta della matrice S, è possibile vedere che S^t è uguale a S

Come S = S^t, questa matrice è simmetrica.

Vedi anche: Come risolvere i sistemi lineari?

Proprietà della matrice trasposta

1a proprietà: la trasposta di una matrice trasposta è uguale alla matrice stessa:

(M^t)^t = M

2° immobile: la trasposta della somma tra le matrici è uguale alla somma della trasposta di ciascuna delle matrici:

(M + N)^t = M^t+ N^t

3a proprietà: la trasposizione di moltiplicazione tra due matrici è uguale alla moltiplicazione della trasposta di ciascuna delle matrici:

(M · N)^t = M^t · N^t

4a proprietà: oh determinante della matrice è uguale al determinante della matrice trasposta:

det (M) = det (M^t)

5a proprietà: la matrice trasposta per la costante è uguale alla matrice trasposta per la costante:

(kA)^t = kA^t

matrice inversa

Il concetto di matrice inversa è molto diverso dal concetto di matrice trasposta ed è importante sottolineare la differenza tra loro. La matrice inversa di una matrice M è la matrice M^-1, dove il prodotto tra le matrici M e M^-1 è uguale alla matrice identità.

Esempio:

Per saperne di più su questo tipo di matrice, leggi il nostro testo: matrice inversa.

matrice opposta

Essendo un altro caso di matrice speciale, la matrice opposta alla matrice M è la matrice -M. Sappiamo come la matrice opposta di M = (m_ij) la matrice -M = (-m_ij). La matrice opposta è composta dai termini opposti della matrice M.