Esercizi sulla formula di Bhaskara

Risolvi l'elenco degli esercizi sulla formula di Bhaskara e chiarisci i tuoi dubbi con esercizi risolti e commentati.

La formula di Bhaskara

x con 1 pedice è uguale al numeratore meno b spazio più spazio radice quadrata dell'incremento rispetto al denominatore 2 spazio. lo spazio alla fine della frazione x con 2 pedice spazio è uguale a spazio numeratore meno b spazio meno spazio radice quadrata dell'incremento rispetto al denominatore 2 spazio. spazio alla fine della frazione

Dove: incremento pari a b spazio al quadrato meno spazio 4 spazio. spazio a spazio. c spazio

Il è il coefficiente accanto a x al quadrato ,
B è il coefficiente accanto a ,
C è il coefficiente indipendente.

Esercizio 1

Usando la formula di Bhaskara, trova le radici dell'equazione 2 x spazio al quadrato meno spazio 7 x spazio più spazio 3 spazio uguale a spazio 0 .

vedi risposta

Lo spazio efficiente è due punti a = 2 b = meno 7 c = 3

Determinazione del delta

incremento pari a b al quadrato meno 4. Il. c l'incremento è uguale alla parentesi sinistra meno 7 la parentesi destra al quadrato meno 4.2.3 l'incremento è uguale a 49 lo spazio meno lo spazio 24 l'incremento è uguale a 25

Determinazione delle radici dell'equazione

Esercizio 2

L'insieme di soluzioni che fa l'equazione x spazio al quadrato più spazio 5 x spazio meno 14 spazio uguale a spazio 0 vero è

a) S={1,7}
b) S={3,4}
c) S={2, -7}.
d) S={4,5}
e) S={8,3}

vedi risposta

Risposta corretta: c) S={2, -7}.

I coefficienti sono:
a = 1
b = 5
c = -14

Determinazione del delta
incremento pari a b al quadrato meno 4. Il. c l'incremento è uguale a 5 al quadrato meno 4,1. parentesi sinistra meno 14 parentesi destra incremento uguale a 25 spazio più spazio 56 incremento uguale a 81

Usando la formula di Bhaskara

x con 1 pedice è uguale al numeratore meno 5 spazio più spazio radice quadrata di 81 sul denominatore 2 spazio. spazio 1 fine della frazione uguale al numeratore meno 5 spazio più spazio 9 sopra denominatore 2 fine della frazione uguale a 4 sopra 2 è uguale a 2 x con 2 pedice è uguale al numeratore meno 5 spazio meno spazio radice quadrata di 81 sul denominatore 2 spazio. spazio 1 fine della frazione uguale al numeratore meno 5 spazio meno spazio 9 sopra denominatore 2 fine della frazione uguale al numeratore meno 14 sopra denominatore 2 fine della frazione uguale a meno 7

L'insieme di soluzioni dell'equazione è S={2, -7}.

Esercizio 3

Determina i valori di X che soddisfano l'equazione parentesi a sinistra 4 spazio meno spazio x parentesi parentesi a destra parentesi a sinistra 3 spazio più spazio x parentesi spazio a destra uguale a spazio 0 .

vedi risposta

Usando la proprietà distributiva della moltiplicazione, abbiamo:

parentesi a sinistra 4 meno x parentesi a destra parentesi a sinistra 3 più x parentesi a destra uguale a 0 12 spazio più spazio 4 x spazio meno 3 x spazio meno x al quadrato è uguale a 0 meno x al quadrato più x più 12 è uguale 0

I termini dell'equazione quadratica sono:

a = -1
b = 1
c = 12

Calcolo del delta

incremento pari a b al quadrato meno 4. Il. c l'incremento è uguale a 1 spazio meno lo spazio 4. parentesi sinistra meno 1 parentesi destra.12 incremento uguale a 1 più 48 incremento uguale a 49

Usando la formula di Bhaskara per trovare le radici dell'equazione:

x con 1 pedice è uguale al numeratore meno b più incremento della radice quadrata sul denominatore 2. la fine della frazione è uguale al numeratore meno 1 spazio più la radice quadrata di 49 sul denominatore 2. parentesi a sinistra meno 1 parentesi a destra fine della frazione uguale al numeratore meno 1 spazio più spazio 7 sopra denominatore meno 2 fine della frazione uguale numeratore 6 sopra denominatore meno 2 fine frazione uguale a meno 3 x con 2 pedice uguale numeratore meno b meno radice quadrata dell'incremento sopra denominatore 2. la fine della frazione è uguale al numeratore meno 1 spazio meno la radice quadrata di 49 sul denominatore 2. parentesi a sinistra meno 1 parentesi a destra fine della frazione uguale al numeratore meno 1 spazio meno spazio 7 sopra denominatore meno 2 fine frazione uguale numeratore meno 8 sopra denominatore meno 2 fine frazione uguale alle 4

I valori di x che soddisfano l'equazione sono x = -3 e x = 4.

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Esercizio 4

Poiché la seguente equazione di secondo grado, 3 x spazio al quadrato più spazio 2 x spazio meno spazio 8 spazio è uguale a 0 , trova il prodotto delle radici.

vedi risposta

Risposta corretta: -8/3

Determinare le radici dell'equazione usando la formula di Bhaskara.

I coefficienti sono:
a = 3
b = 2
c = -8

Delta
incremento pari a b al quadrato meno 4. Il. c l'incremento è pari a 2 al quadrato meno 4,3. parentesi sinistra meno 8 parentesi destra incremento uguale a 4 più 96 incremento uguale a 100

Calcolo delle radici

Determinazione del prodotto tra le radici.

x con 1 pedice spazio. spazio x con 2 pedice è uguale a 4 su 3 segno di moltiplicazione parentesi sinistra meno 2 parentesi destra è uguale a 4 su 3 segno di moltiplicazione numeratore meno 2 sopra denominatore 1 fine frazione uguale numeratore meno 8 sopra denominatore 3 fine frazione uguale negativo 8 circa 3

Esercizio 5

Classifica le equazioni che hanno radici reali.

I parentesi destra spazio spazio x al quadrato meno spazio x spazio più 1 è uguale a 0 I I parentesi destra spazio meno x al quadrato più 2 x più 3 è uguale a 0 I I I parentesi spazio a destra 4 x alla potenza di 2 spazio fine dell'esponenziale più 6 x più 2 uguale a 0 spazio I V parentesi a destra x spazio al quadrato su 2 più 5 x spazio più 12 spazio uguale a 0

vedi risposta

Risposte corrette: II e IV.

Non ci sono vere radici nelle equazioni con incremento negativo perché nella formula di Bhaskara è il radicando di una radice quadrata e non esiste una radice quadrata di numeri negativi nei numeri reali.

I parentesi tonda destra spazio spazio x al quadrato meno spazio x spazio più 1 è uguale a 0 p a râ m e tr o s spazio a lo spazio è uguale allo spazio 1 b lo spazio è uguale allo spazio meno 1 c lo spazio è uguale allo spazio 1 incremento è uguale a b al quadrato meno 4. Il. c l'incremento è uguale alla parentesi sinistra meno 1 la parentesi destra al quadrato meno 4.1.1 l'incremento è uguale a 1 meno 4 l'incremento è uguale a meno 3

Delta negativo, quindi non ho una vera soluzione.

I I spazio tra parentesi a destra meno x al quadrato più 2x più 3 è uguale a 0 a è uguale a meno 1 b è uguale a 2 c è uguale a 3 incremento è uguale a b al quadrato meno 4. Il. c l'incremento è uguale a 2 al quadrato meno 4. parentesi a sinistra meno 1 parentesi a destra.3 l'incremento è uguale a 4 più 12 l'incremento è uguale a 16

Delta positivo, quindi II ha una vera soluzione.

I I I parentesi a destra spazio 4 x alla potenza di 2 spazio all'estremità dell'esponenziale più 6 x più 2 è uguale a 0 spazio a è uguale a 4 b è uguale a 6 c è uguale a 2 incremento è uguale a b al quadrato meno 4. Il. c l'incremento è uguale a 6 al quadrato meno 4.4.2 l'incremento è uguale a 36 spazio meno spazio 64 l'incremento è uguale a meno 28

Delta negativo, quindi III non ha una vera risoluzione.

I V parentesi a destra x spazio al quadrato su 2 più 5 x spazio più 12 spazio è uguale a 0 a è uguale a 1 metà b è uguale a 5 c uguale a 12 incremento uguale a 5 al quadrato meno 4,1 mezzo.12 incremento uguale a 25 spazio meno spazio 24 incremento uguale 1

Delta positivo, quindi IV ha una vera soluzione.

Esercizio 6

Il grafico seguente è determinato dalla funzione di secondo grado x al quadrato meno x spazio meno spazio c spazio è uguale a spazio 0 . Il parametro c indica il punto di intersezione della curva con l'asse y. Le radici x1 e x2 sono i numeri reali che, una volta sostituiti nell'equazione, la rendono vera, ovvero entrambi i membri dell'uguaglianza saranno uguali a zero. Sulla base delle informazioni e del grafico, determinare il parametro c.

vedi risposta

Risposta corretta: c = -2.

obbiettivo
determinare c.

Risoluzione

Le radici sono i punti in cui la curva taglia l'asse x dell'ascissa. Quindi le radici sono:

x con 1 pedice è uguale a meno 1 spazio x con 2 pedice è uguale a 2

I parametri sono:

a spazio è uguale a spazio 1 b spazio è uguale a spazio meno 1

La formula di Bhaskara è un'uguaglianza che mette in relazione tutti questi parametri.

x spazio è uguale al numeratore spazio meno b spazio più o meno spazio radice quadrata di b al quadrato meno 4. Il. c fine della radice sul denominatore 2. alla fine della frazione

Per determinare il valore di c basta isolarlo nella formula e, per questo, arbitreremo una delle radici, utilizzando quella con il valore più alto, quindi il valore positivo del delta.

x con 2 pedice è uguale al numeratore meno b più radice quadrata di b al quadrato meno 4. Il. c fine della radice sul denominatore 2. alla fine della frazione

2. Il. x con 2 pedice è uguale a meno b più radice quadrata di b al quadrato meno 4. Il. c fine della radice 2. Il. x con 2 pedice spazio più spazio b è uguale alla radice quadrata di b al quadrato meno 4. Il. c fine della radice

A questo punto, quadra entrambi i lati dell'equazione per prendere la radice del delta.

parentesi a sinistra 2. Il. x con 2 pedice più b parentesi quadrata al quadrato è uguale alla radice quadrata della parentesi sinistra di b al quadrato meno 4. Il. c fine della radice parentesi destra spazio al quadrato parentesi sinistra 2. Il. x con 2 pedice più b parentesi destra al quadrato è uguale a spazio b al quadrato meno 4. Il. c parentesi a sinistra 2. Il. x con 2 pedice più b parentesi destra meno b al quadrato è uguale a meno 4. Il. c numeratore parentesi a sinistra 2. Il. x con 2 pedice più b parentesi destra meno b al quadrato sul denominatore meno 4. il termine della frazione pari a c

Sostituendo i valori numerici:

numeratore parentesi a sinistra 2. Il. x con 2 pedice più b parentesi destra meno b al quadrato sul denominatore meno 4. la fine della frazione è uguale al numeratore c parentesi sinistra 2.1.2 meno 1 parentesi destra al quadrato meno parentesi sinistra meno 1 parentesi destra al quadrato sul denominatore meno 4.1 la fine della frazione è uguale a c numeratore parentesi sinistra 4 meno 1 parentesi destra al quadrato meno 1 sopra denominatore meno 4 fine frazione è uguale a c numeratore 3 al quadrato meno 1 sopra denominatore meno 4 fine della frazione uguale a c numeratore 9 meno 1 sopra denominatore meno 4 fine della frazione uguale a c numeratore 8 sopra denominatore meno 4 fine della frazione uguale a c meno 2 uguale a c

Pertanto, il parametro c è -2.

Esercizio 7

(Municipio di São José dos Pinhais - PR 2021) Spunta l'alternativa che porta un'affermazione corretta della più grande delle soluzioni dell'equazione:

diritto x quadrato spazio più spazio 2 diritto x spazio meno spazio 15 spazio uguale spazio 0 spazio

a) È unico.
b) È negativo.
c) È un multiplo di 4.
d) È un quadrato perfetto.
e) È uguale a zero.

vedi risposta

Risposta corretta: a) È strano.

Parametri dell'equazione:

a = 1
b = 2
c = -15

incremento pari a b al quadrato meno 4. Il. c l'incremento è uguale a 2 al quadrato meno 4,1. parentesi sinistra meno 15 parentesi destra incremento uguale a 4 più 60 incremento uguale a 64

x con 1 pedice è uguale al numeratore meno 2 spazio più spazio radice quadrata di 64 sul denominatore 2 fine della frazione è uguale al numeratore meno 2 spazio più spazio 8 sopra denominatore 2 fine della frazione uguale a 6 sopra 2 uguale a 3 x con 2 pedice uguale numeratore meno 2 spazio meno spazio radice quadrata di 64 sopra denominatore 2 fine della frazione uguale al numeratore meno 2 spazio meno spazio 8 sul denominatore 2 fine della frazione uguale al numeratore meno 10 sopra il denominatore 2 fine della frazione uguale al numeratore meno 10 sopra il denominatore 2 meno 5

Poiché la soluzione massima dell'equazione, 3, è un numero dispari.

Esercizio 8

(PUC - 2016)
Immagine associata alla risoluzione del problema.

Si consideri un triangolo rettangolo di ipotenusa a e gambe b e c, con b > c, i cui lati obbediscono a questa regola. Se a + b + c = 90, il valore di a. c, si

a) 327
b) 345
c) 369
d) 381

vedi risposta

Risposta corretta: c) 369.

I termini tra parentesi equivalgono ai lati a, b e c del triangolo rettangolo.

L'enunciato prevede anche che a + b + c = 90, sostituendo così i termini della triade pitagorica. In caso di somma, l'ordine non ha importanza.

a spazio più spazio b spazio più c spazio uguale spazio 90 numeratore m al quadrato meno 1 sopra denominatore 2 fine frazione più m più numeratore m al quadrato più 1 sul denominatore 2 fine della frazione uguale a 90 numeratore m al quadrato meno 1 sul denominatore 2 fine della frazione più numeratore 2 m oltre denominatore 2 fine della frazione più numeratore m al quadrato più 1 oltre denominatore 2 fine della frazione uguale a 180 oltre 2 m al quadrato meno 1 più 2 m più m al quadrato più 1 è uguale a 180 2 m al quadrato più 2 m è uguale a 180 2 m al quadrato più 2 m meno 180 è uguale a 0 m al quadrato più m meno 90 uguale a 0

Risolvendo l'equazione quadratica per trovare m:

I coefficienti sono
a = 1
b = 1
c = -90

incremento pari a b al quadrato meno 4. Il. c l'incremento è uguale a 1 meno 4,1. parentesi sinistra meno 90 parentesi destra incremento uguale a 1 più 360 incremento uguale a 361

m con 1 pedice è uguale a numeratore meno 1 più radice quadrata di 361 su denominatore 2,1 fine della frazione è uguale a numeratore meno 1 più 19 su denominatore 2 fine della frazione è uguale a 18 più di 2 è uguale a 9 m con 2 pedice è uguale al numeratore meno 1 meno radice quadrata di 361 sopra denominatore 2,1 fine della frazione è uguale al numeratore meno 1 meno 19 sopra il denominatore 2 fine della frazione è uguale al numeratore meno 20 sopra il denominatore 2 fine della frazione è uguale meno 10

Poiché si tratta di una misura, ignoreremo m2, poiché non esiste una misura negativa.

Sostituendo il valore 9 nei termini:

numeratore m al quadrato meno 1 sopra denominatore 2 fine della frazione uguale al numeratore 9 al quadrato meno 1 sopra denominatore 2 fine frazione uguale a numeratore 81 meno 1 su denominatore 2 fine frazione uguale a 80 su 2 uguale a 40

numeratore m al quadrato più 1 sopra denominatore 2 fine della frazione uguale al numeratore 9 al quadrato più 1 sopra denominatore 2 fine frazione uguale a numeratore 81 più 1 su denominatore 2 fine frazione uguale a 82 su 2 uguale a 41

In un triangolo rettangolo, l'ipotenusa è il lato più lungo, quindi a = 41. Il lato più piccolo è c, secondo l'affermazione, quindi c = 9.

In questo modo il prodotto è:

allo spazio. spazio c spazio è uguale a spazio 41 spazio. spazio 9 spazio è uguale a spazio 369

Esercizio 9

Formula Bhaskara e foglio di calcolo

(CRF-SP - 2018) La formula di Bhaskara è un metodo per trovare le radici reali di un'equazione quadratica utilizzando solo i suoi coefficienti. Vale la pena ricordare che il coefficiente è il numero che moltiplica un'incognita in un'equazione. Nella sua forma originale, la formula di Bhaskara è data dalla seguente espressione:

stile iniziale dimensione matematica 18px x è uguale al numeratore meno b più o meno radice quadrata di b al quadrato meno 4. Il. c fine della radice sul denominatore 2. fine della frazione fine dello stile

Discriminante è l'espressione presente nella radice nella formula di Bhaskara. È comunemente rappresentato dalla lettera greca Δ (Delta) e prende il nome dal fatto che discrimina i risultati di un equazione come segue: Segna l'alternativa che trascrive correttamente la formula Δ = b2 – 4.a.c nella cella E2.