La proporzione è un'uguaglianza tra ragioni. Due rapporti sono proporzionali quando il risultato della divisione del numeratore e del denominatore del primo rapporto è uguale al risultato della divisione del secondo.
In cui si w, w, w e D sono numeri diversi da zero e, in quest'ordine, formano una proporzione.
Leggiamo una parte dei seguenti modi:
- Il è per B per lo stesso motivo di C è per D;
- Il è per B come C è per D;
- Il e B sono proporzionali a C e D.
In proporzione:
Esempio
L'uguaglianza è vera perché 4/2 = 2, così come 12/6 = 2.
Proprietà proporzionali
Le proprietà sono strumenti matematici che facilitano la risoluzione dei problemi. Usando le proprietà delle proporzioni, possiamo creare altre proporzioni, più utili per risolvere i problemi.
Proprietà fondamentale delle proporzioni
Il prodotto dei mezzi è uguale al prodotto degli estremi.
La seguente uguaglianza tra ragioni essendo una proporzione,
Quindi è vero che:
È comune chiamare questa proprietà moltiplicazione incrociata. Questa proprietà viene utilizzata nella procedura chiamata regola del tre.
Esempio
Altre proprietà
Ad alcune proprietà non vengono assegnati nomi speciali, sebbene siano importanti nei calcoli.
Proprietà 1
L'addizione (o sottrazione) dei denominatori ai numeratori dei loro rapporti non cambia la proporzione.
essendo vera la proporzione
Quindi ne vale la pena:
Nel primo rapporto, aggiungiamo o sottraiamo il denominatore b, e nel secondo rapporto, aggiungiamo o sottraiamo il denominatore d.
Esempio
Quindi ne vale la pena:
Proprietà 2
L'addizione (o sottrazione) dei numeratori e dei denominatori del secondo rapporto a quelli del primo è uguale al primo o al secondo rapporto.
Se la proporzione è vera:
Quindi ne vale la pena:
Esempio
Se la proporzione è vera:
Quindi ne vale la pena:
Esercizi
Esercizio 1
Una mappa presenta la scala 1:3500 (da 1 a 3500) centimetri. Sulla mappa è stata eseguita una misurazione di 8 centimetri. Questa misura sulla mappa rappresenta quanti centimetri reali?
La scala può essere scritta come il motivo .
Per questo motivo il numeratore rappresenta i centimetri sulla mappa, mentre il denominatore rappresenta i centimetri effettivi.
Possiamo, in quest'ordine, scrivere una ragione per il valore sconosciuto.
I centimetri misurati sulla mappa sono al numeratore, mentre i centimetri effettivi, che vogliamo determinare, sono al denominatore.
Scrivendo un rapporto tra questi due motivi si ha:
Per determinare l'incognita utilizziamo la proprietà fondamentale delle proporzioni: il prodotto degli estremi è uguale al prodotto dei medi.
Pertanto, 8 cm sulla mappa equivalgono a 28 000 cm reali.
Esercizio 2
Catarina sta per fare una torta per la sua famiglia e, per questo, ha creato una ricetta che prevede le seguenti quantità:
4 uova;
2 tazze di zucchero;
300 grammi di farina di frumento.
Siccome lei ha 7 uova e vorrebbe usarle contemporaneamente, aumentando la quantità di uova nella ricetta, è necessario aumentare proporzionalmente le quantità degli altri ingredienti. Quindi, nella sua preparazione, quanto degli altri ingredienti dovrebbe usare?
Determiniamo le nuove quantità proporzionali di ciascun ingrediente.
Zucchero
Nella ricetta originale, per ogni 4 uova, si usano 2 tazze di zucchero.
Nella nuova preparazione, Catarina utilizzerà 7 uova e, anche se non sappiamo ancora il numero di tazzine di zucchero, per ora lo chiameremo x.
Poiché questi rapporti devono essere proporzionali, li abbineremo.
Per determinare il valore di x, usiamo la proprietà fondamentale delle proporzioni, che dice che il prodotto degli estremi è uguale al prodotto dei medi.
Isolando la x a sinistra dell'uguaglianza:
Così Catarina utilizzerà tre tazze e mezzo di zucchero nella nuova preparazione.
Seguendo lo stesso ragionamento per la quantità di grano, abbiamo:
Catarina dovrà quindi utilizzare 525 grammi di farina di frumento nella nuova preparazione della sua torta.
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Rapporto e Proporzione
Esercizi di ragione e proporzione
Proporzionalità
quantità proporzionali
