Teorema fondamentale di similitudine

Quando si confrontano le figure geometriche, ci sono alcune possibili conclusioni: le figure sono congruenti, cioè i loro lati e gli angoli hanno le stesse misure; le figure sono diverse o le figure sono simili, cioè hanno angoli corrispondenti con misure uguali e lati corrispondenti con misure proporzionali.

Un matematico di nome Talete di Mileto osservò che vi è proporzionalità tra le rette formate da un fascio di rette parallele tagliate da rette trasversali. Guarda la seguente immagine:

La proporzionalità valida osservata da Tales è quella delle uguaglianze:

MN = PERCHÉ = AL
MO PR QR

Questa importante scoperta fu presto osservata nei triangoli. Quando un triangolo ABC è intersecato su due dei suoi lati, AB e AC, da una linea r e questa linea è parallela al lato rimanente, BC, del triangolo, allora si applicano queste stesse proporzionalità., poiché il vertice A di questo triangolo può essere visto come un punto appartenente ad una retta parallela anche ad r. Orologio:

In questo triangolo, si applicano le seguenti proporzionalità:

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AE = AF = EB
AB AC FC

Osservate queste proporzionalità, e considerando i triangoli AEF e ABC come triangoli distinti, basta osservare che l'angolo vertice interno A è comune ai due triangoli per affermare che sono simili, nel caso di somiglianza Lato – angolo – lato (LAL). Più specificamente:

  • L'angolo interno del vertice A è comune ai due triangoli, quindi è lo stesso quando si confrontano i due.

  • I lati AE e AF appartenenti al triangolo AEF sono proporzionali ai lati AC e AB appartenenti al triangolo ABC.

Pertanto, per il caso LAL di somiglianza dei triangoli, i triangoli sono simili.

In sintesi, avendo come base un qualsiasi triangolo, si può arrivare alla seguente proprietà: In un triangolo ABC, una linea r interseca i lati AB e AC nei punti E e F in modo che la linea r sia parallela al lato BC, quindi i triangoli ABC e AEF sono simili.

Questa proprietà divenne nota come il teorema fondamentale della somiglianza.
Di Luiz Paulo Moreira
Laureato in Matematica

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SILVA, Luiz Paulo Moreira. "Teorema fondamentale di similarità"; Brasile Scuola. Disponibile in: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-fundamental-semelhanca.htm. Consultato il 27 luglio 2021.

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