Un equazione polinomiale è caratterizzato dall'avere un polinomio uguale a zero. Può essere caratterizzato dal grado del polinomio, e maggiore è questo grado, maggiore è il grado di difficoltà nel trovare la sua soluzione o radice.
È anche importante, in questo contesto, capire qual è il teorema fondamentale dell'algebra, il quale afferma che ogni equazione polinomiale ha almeno una soluzione complessa, in altre parole: un'equazione di grado uno avrà almeno una soluzione, un'equazione di grado due avrà almeno due soluzioni, e così via.
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Che cos'è un'equazione polinomiale
Un'equazione polinomiale è caratterizzata dall'avere un polinomio uguale a zero, quindi, ogni espressione di tipo P(x) = 0 è un'equazione polinomiale, dove P(x) è un polinomio. Di seguito è riportato il caso generale di un'equazione polinomiale e alcuni esempi.
Considera ilno, unn -1, un n -2, …, Il1, un0 e x numeri reali, e n è un numero intero positivo, la seguente espressione è un'equazione polinomiale di grado n.
- Esempio
Le seguenti equazioni sono polinomi.
a) 3x4 + 4x2 – 1 = 0
b) 5x2 – 3 = 0
c) 6x – 1 = 0
d) 7x3 - X2 + 4x + 3 = 0
Come i polinomi, le equazioni polinomiali hanno il loro grado. Per determinare il grado di un'equazione polinomiale, basta trovare la potenza più alta il cui coefficiente è diverso da zero. Pertanto, le equazioni delle voci precedenti sono, rispettivamente:
a) L'equazione è da quarto grado:3X4+ 4x2 – 1 = 0.
b) L'equazione è da Scuola superiore:5X2 – 3 = 0.
c) L'equazione è da primo grado:6X – 1 = 0.
d) L'equazione è della terzo grado: 7X3- X2 + 4x + 3 = 0.
Come risolvere un'equazione polinomiale?
Il metodo per risolvere un'equazione polinomiale dipende dal suo grado. Maggiore è il grado di un'equazione, più difficile è risolverla. In questo articolo, mostreremo il metodo risolutivo per equazioni polinomiali del primo grado, secondo grado e biquadrato.
Equazione polinomiale di primo grado
Un'equazione polinomiale di primo grado è descritta da a polinomio di 1° grado. Quindi possiamo scrivere un'equazione di primo grado, in generale, come segue.
Considera due numeri reali Il e B con a 0, la seguente espressione è un'equazione polinomiale di primo grado:
ax + b = 0
Per risolvere questa equazione, dobbiamo usare il principio di equivalenza, cioè tutto ciò che si opera da un lato dell'uguaglianza deve essere operato anche dall'altro. Per determinare la soluzione di un'equazione di primo grado, dobbiamo isolare l'ignoto. Per questo, il primo passo è eliminare il B sul lato sinistro dell'uguaglianza, e poi sottrarreremi b su entrambi i lati dell'uguaglianza.
ascia + b - B = 0 - B
ax = - b
Nota che il valore dell'incognita x non è isolato, il coefficiente a deve essere eliminato dal lato sinistro dell'uguaglianza, e per questo, dividiamo entrambi i membri per Il.
- Esempio
Risolvi l'equazione 5x + 25 = 0.
Per risolvere il problema, dobbiamo usare il principio di equivalenza. Per facilitare il processo, ometteremo la scrittura dell'operazione sul lato sinistro dell'uguaglianza, essendo equivale quindi a dire che andremo a “passare” il numero dall'altra parte, cambiando segno (operazione inversa).
Scopri di più sulla risoluzione di questo tipo di equazione accedendo al nostro testo: Equazione di primo grado con un'incognita.
Equazione polinomiale di secondo grado
Un'equazione polinomiale di secondo grado ha la caratteristica di a polinomio di secondo grado. Quindi, considera a, b e c numeri reali con a 0. Un'equazione di secondo grado è data da:
ascia2 + bx + c = 0
La tua soluzione può essere determinata utilizzando il metodo di bhaskara o tramite factoring. Se vuoi saperne di più sulle equazioni di questo tipo, leggi: Eqazione di Ssecondo Grau.
→ Metodo Bhaskara
Usando il metodo di Bhaskara, le sue radici sono date dalla seguente formula:
- Esempio
Trova la soluzione dell'equazione x2 – 3x + 2 = 0.
Si noti che i coefficienti dell'equazione sono, rispettivamente, a = 1, b = – 3 e c = 2. Sostituendo questi valori nella formula, dobbiamo:
→ fattorizzazione
Vedi che è possibile fattorizzare l'espressione x2 – 3x + 2 = 0 usando l'idea di fattorizzazione polinomiale.
X2 – 3x + 2 = 0
(x – 2) · (x – 1) = 0
Nota ora che abbiamo un prodotto uguale a zero, e un prodotto è uguale a zero solo se uno dei fattori è uguale a zero, quindi dobbiamo:
x – 2 = 0
x = 2
o
x - 1 = 0
x = 1
Vedi che abbiamo trovato la soluzione dell'equazione usando due metodi diversi.
equazione bi-quadrato
IL equazione biquadrata è un caso particolare di un'equazione polinomiale di quarto grado, normalmente un'equazione di quarto grado sarebbe scritta nella forma:
ascia4 + bx3 + scatola2 + dx + e = 0
dove i numeri a SI DO RE e e sono reali con 0. Un'equazione di quarto grado è considerata biquadrata quando i coefficienti b = d = 0, ovvero l'equazione è nella forma:
ascia4 + scatola2 + e = 0
Vedi, nell'esempio seguente, come risolvere questa equazione.
- Esempio
Risolvi l'equazione x4 – 10x2 + 9 = 0.
Per risolvere l'equazione, useremo la seguente modifica sconosciuta, e ogni volta che l'equazione è biquadrata, faremo quella modifica.
X2 =p
Dall'equazione biquadrata, nota che x4 = (x2)2 e quindi dobbiamo:
X4 – 10x2 + 9 = 0
(X2)2 – 10X2 + 9 = 0
per2 – 10p + 9 = 0
Vedi che ora abbiamo un'equazione polinomiale di secondo grado e possiamo usare il metodo di Bhaskara, in questo modo:
Tuttavia, dobbiamo ricordare che, all'inizio dell'esercizio, è stata apportata una modifica sconosciuta, quindi dobbiamo applicare il valore trovato nella sostituzione.
X2 =p
Per p = 9 abbiamo che:
X2 = 9
x' = 3
o
x'' = – 3
Per p = 1
X2 = 1
x' = 1
o
x'' = – 1
Pertanto, l'insieme delle soluzioni dell'equazione biquadrata è:
S = {3, –3, 1, –1}
Leggi anche: Dispositivo pratico di Briot-Ruffini – divisione di polinomi
Teorema fondamentale dell'algebra (TFA)
Il teorema fondamentale dell'algebra (TFA), dimostrato da Gauss nel 1799, afferma che ogni equazione polinomiale come segue ha almeno una radice complessa.
La radice di un'equazione polinomiale è la sua soluzione, cioè il valore incognito è ciò che rende vera l'uguaglianza. Ad esempio, un'equazione di primo grado ha una radice già determinata, così come un'equazione di secondo grado, che ha almeno due radici, e un biquadrato, che ha almeno quattro radici.
esercizi risolti
domanda 1 – Determinare il valore di x che rende vera l'uguaglianza.
2x - 8 = 3x + 7
Risoluzione
Nota che per risolvere l'equazione, è necessario organizzarla, cioè lasciare tutte le incognite sul lato sinistro dell'uguaglianza.
2x - 8 = 3x + 7
2x – 3x = 7 + 8
– x = 15
Per il principio di equivalenza, possiamo moltiplicare entrambi i membri dell'uguaglianza per lo stesso numero, e poiché vogliamo trovare il valore di x, moltiplichiamo entrambi i membri per –1.
(–1)– x = 15(–1)
x = – 15
Domanda 2 – Marcos ha R$ 20 in più di João. Insieme, riescono a comprare due paia di scarpe da ginnastica, che costano 80 R$ ciascuna e senza soldi. Quanti reais ha John?
Risoluzione
Supponiamo che Marco abbia x reais, come Giovanni ha 20 reais in più, quindi ha x + 20.
Segni → x reali
João → (x + 20) reais
come hanno comprato? due paia di scarpe da ginnastica che costano 80 reais ciascuno, quindi se mettiamo insieme le parti di ognuno, dovremo:
x + (x + 20) = 2 · 80
x + x = 160 – 20
2x = 140
Pertanto, Mark aveva 70 reais e João 90 reais.
di Robson Luiz
Insegnante di matematica
Fonte: Scuola Brasile - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacao-polinomial.htm