Rapporti trigonometrici secante, cosecante e cotangente sono l'inverso delle ragioni coseno, seno e tangente. Lo studio della trigonometria in ciclo trigonometrico ottenuto grandi contributi allo sviluppo delle funzioni inverse
Il rapporto seno inverso (sin x) è noto come cosecante (cossec x), il rapporto coseno inverso (cos x) è noto come secante (sec x), e il rapporto inverso della tangente (tg x) è noto come cotangente (cotg X). Possono essere rappresentati da:
Leggi anche: I 4 errori più commessi in trigonometria di base
cosecante
Conosciuto come il rapporto trigonometrico seno inverso, la cosecante è impostata su angoli il cui seno è diverso da zero. Per trovare la cosecante di a angolo x, dobbiamo solo calcolare l'inverso del suo valore seno.
Esempio
Calcola il valore di cossec 60º.
Cosecante nel ciclo trigonometrico
Nello studio della trigonometria, il rapporto cosecante è legato al ciclo trigonometrico, che è un cerchio di raggio 1. Per trovare geometricamente la cosecante di un angolo, conoscendo l'angolo x, tracciamo la retta tangente al punto B, retta t. La cosecante di x sarà la
segmento che collega il centro al punto in cui la linea t interseca l'asse verticale, rappresentato da AC nell'immagine.
Condizione di esistenza della cosecante
Visto che il valore della cosecante è il segmento che collega il centro del cerchio al punto in cui la tangente tocca l'asse verticale, ci rendiamo conto che ci sono tre angoli dove non c'è cosecante definita, poiché la linea tangente non tocca l'asse verticale.
Non c'è cosecante per gli angoli di 0º, 180º e 360º. Ricordiamo che a questi angoli il valore del seno è zero, algebricamente, calcoleremmo la divisione di 1 per zero, cosa non possibile.
segno cosecante
È possibile vedere, nella rappresentazione nel ciclo, che per angoli maggiori di 0º e inferiore a 180º, la cosecante sarà sempre positiva. per gli angoli sopra 180º, il segno della cosecante sarà negativo, cioè la cosecante è positiva nel 1° e 2° quadrante e negativa nel 3° e 4° quadrante.
Vedi anche: Riduzione al primo quadrante del ciclo trigonometrico
asciugatura
Conosciuto come il coseno inverso rapporto trigonometrico, la secante è definita per angoli il cui coseno è diverso da zero. Per trovare la secante di un angolo x, dobbiamo solo calcolare l'inverso del suo valore del coseno.
Esempio:
Calcola i 45° sec.
Secante nel ciclo trigonometrico
Per trovare geometricamente la secante di un angolo, conoscendo l'angolo x, tracciamo la linea t, tangente al punto B. La secante di x sarà la segmento che collega il centro al punto in cui la linea t interseca il asse orizzontale, rappresentato da CD nell'immagine.
Condizione di esistenza della secante
Non c'è secante per gli angoli di 90º e 270º, geometricamente, perché in questi punti la retta t non tocca l'asse orizzontalmente e, algebricamente, perché il valore del coseno di 90° e 270° è zero, e la divisione di 1 per zero è impossibile.
segno secante
Per angoli maggiori di 0º e minori di 90º e per angoli maggiori di 270º e minori di 360º, la secante sarà sempre positiva. Per angoli superiori a 90º e inferiori a 270º, il segno della secante sarà negativo, cioè la secante è positiva nel 1° e 4° quadrante e negativa nel 2° e 3° quadrante.
Vedi anche: Applicazioni delle leggi trigonometriche di un triangolo: seno e coseno
Cotangente
Conosciuto come il rapporto trigonometrico inverso di tangente, la cotangente è definita per angoli la cui tangente è diversa da zero. Per trovare la cotangente di un angolo x, basta calcolare l'inverso del suo valore della tangente.
Esempio:
Calcola il cog 30º.
Cotangente nel ciclo trigonometrico
Per rappresentare la cotangente, tracciamo una linea p, parallela all'asse orizzontale nel punto A. Quindi, quando costruiamo l'angolo x, tracciamo la linea r, che passa per il centro C e per il punto B, per trovare il punto E, che è il punto di incontro tra le linee p ed r. La traccia AE sarà la cotangente dell'angolo x.
Condizione di esistenza cotangente
la cotangente non esiste per angoli la cui tangente è uguale a zero, che sono gli angoli di 0º, 180º e 360º. Geometricamente, a questi angoli la linea r sarà parallelo a p, quindi non hanno alcun punto in comune, il che rende impossibile tracciare il segmento AE.
segno cotangente
Il segno della cotangente è positivo per angoli maggiori di 0º e minori di 90º e anche per angoli maggiori di 180º e minori maggiore di 270º, ed è negativo per angoli maggiori di 90º e minori di 180º e anche per angoli maggiori di 270º e minori di 360º. Quindi la cotangente è positivo per il 1° e 3° quadrante (dispari) e negativo per il 2° e 4° quadrante (pari).
Esecuzioni risolte
domanda 1 – Le funzioni trigonometriche cotg x e sec x nel secondo quadrante hanno immagini, rispettivamente:
a) positivo e positivo
b) negativo e negativo
c) positivo e negativo
d) negativo e positivo
Risoluzione
Alternativa B.
Analizzando il comportamento di ciascuna delle funzioni, si vede che la cotangente è positiva nei quadranti dispari e negativa nei quadranti pari, quindi sarà negativa nel 2° quadrante. La funzione secante è positiva nel primo e quarto quadrante e negativa nel secondo e terzo quadrante, quindi sarà anche negativa.
Domanda 2 - Sapendo che x = 90º, il valore dell'espressione è:
Risoluzione
Alternativa C.
Sostituendo x = 90º, abbiamo che:
Ora calcoliamo separatamente ciascuno dei rapporti trigonometrici:
Calcolando ciascuno di essi è possibile sostituire nell'espressione:
Di Raul Rodrigues de Oliveira
Insegnante di matematica
Fonte: Scuola Brasile - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/secante-cosecante-cotangente.htm