IL Legge del coseno viene utilizzato per calcolare la misura di un lato o di un angolo sconosciuto di qualsiasi triangolo, conoscendone le altre misure.
Dichiarazione e formule
Il teorema del coseno afferma che:
"In ogni triangolo, il quadrato su un lato è la somma dei quadrati sugli altri due lati, meno il doppio del prodotto di quei due lati per il coseno dell'angolo tra loro.."
Quindi, per la legge dei coseni, abbiamo le seguenti relazioni tra i lati e gli angoli di un triangolo:
Esempi
1. Due lati di un triangolo misurano 20 cm e 12 cm e formano tra loro un angolo di 120°. Calcola la misura del terzo lato.
Soluzione
Per calcolare la misura del terzo lato utilizzeremo la legge dei coseni. Per questo, consideriamo:
b = 20 cm
c = 12 cm
cos α = cos 120º = - 0,5 (valore riscontrato nelle tabelle trigonometriche).
Sostituendo questi valori nella formula:
Il2 = 202 + 122 - 2. 20. 12. (- 0,5)
Il2 = 400 + 144 + 240
Il2 = 784
a = 784
a = 28 cm
Quindi il terzo lato misura 28 cm.
2. Determinare la misura del lato AC e la misura dell'angolo con vertice in A dalla figura seguente:
Innanzitutto, determiniamo AC = b:
B2 = 82 + 102 – 2. 8. 10. cos 50
B2 = 164 – 160. cos 50
B2 = 164 – 160. 0,64279
b 7,82
Ora, determiniamo la misura dell'angolo mediante la legge dei coseni:
82 = 102 + 7,822 – 2. 10. 7,82. cos
64 = 161,1524 – 156,4 cos
cos  = 0,62
 = 52º
Nota: Per trovare i valori degli angoli del coseno usiamo il Tavola Trigonometrica. In esso abbiamo i valori degli angoli da 1º a 90º per ciascuna funzione trigonometrica (seno, coseno e tangente).
Applicazione
La legge del coseno può essere applicata a qualsiasi triangolo. Sia esso ad angolo acuto (angoli interni inferiori a 90°), ad angolo ottuso (con un angolo interno maggiore di 90°), o rettangolo (con un angolo interno uguale a 90°).
E i triangoli rettangolari?
Applichiamo la legge dei coseni al lato opposto all'angolo di 90°, come sotto indicato:
Il2 = b2 + c2 - 2. B. ç. cos 90º
Poiché cos 90º = 0, l'espressione sopra diventa:
Il2 = b2 + c2
Che è la stessa dell'espressione di teorema di Pitagora. Quindi, possiamo dire che questo teorema è un caso particolare della legge dei coseni.
La legge del coseno è adatta per problemi in cui conosciamo due lati e l'angolo tra di essi e vogliamo trovare il terzo lato.
Possiamo ancora usarlo quando conosciamo i tre lati del triangolo e vogliamo conoscere uno dei suoi angoli.
Per situazioni in cui si conoscono due angoli e un solo lato e si vuole determinare un altro lato, è più conveniente usare il legge dei peccati.
Definizione di coseno e seno
Il coseno e il seno di un angolo sono definiti come rapporti trigonometrici in un triangolo rettangolo. Il lato opposto all'angolo retto (90º) è chiamato ipotenusa e gli altri due lati sono chiamati cateti, come mostrato nella figura seguente:
Il coseno è quindi definito come il rapporto tra la misura del cateto adiacente e l'ipotenusa:
Il seno, invece, è il rapporto tra la misura del cateto opposto e l'ipotenusa.
Esercizi per l'esame di ammissione
1. (UFSCar) Se i lati di un triangolo misurano x, x + 1 e x +2, allora per qualsiasi X reale e maggiore di 1, il coseno dell'angolo interno più grande di questo triangolo è uguale a:
a) x / x + 1
b) x / x + 2
c) x + 1 / x + 2
d) x – 2/3x
e) x – 3/2x
Alternativa e) x – 3 / 2x
2. (UFRS) Nel triangolo rappresentato nella figura sottostante, AB e AC hanno la stessa misura, e l'altezza relativa al lato BC è pari a 2/3 della misura di BC.
Sulla base di questi dati, il coseno dell'angolo CÂB è:
a) 7/25
b) 7/20
c) 4/5
d) 5/7
e) 5/6
Alternativa a) 7/25
3. (UF-Juiz de Fora) Due lati di un triangolo misurano 8 me 10 m e formano un angolo di 60°. Il terzo lato di questo triangolo misura:
a) 2√21 m
b) 2√31 m
c) 2√41 m
d) 2√51 m
e) 2√61 m
Alternativa a) 2√21 m
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