Funzione esponenziale: 5 esercizi commentati

IL funzione esponenziale è ogni funzione di in ℝ^*_+, definito da f(x) = a^X, dove a è un numero reale, maggiore di zero e diverso da 1.

Approfitta degli esercizi commentati per chiarire tutti i tuoi dubbi su questo contenuto e assicurati di verificare la tua conoscenza nelle domande risolte dei concorsi.

Esercizi commentati

Esercizio 1

Un gruppo di biologi sta studiando lo sviluppo di una particolare colonia di batteri e trovato che in condizioni ideali, il numero di batteri può essere trovato attraverso l'espressione N(t) = 2000. 2^{0,5 t}, essendo t in ore.

Considerando queste condizioni, quanto tempo dopo l'inizio dell'osservazione il numero di batteri sarà pari a 8192000?

Soluzione

Nella situazione proposta, conosciamo il numero di batteri, cioè sappiamo che N(t) = 8192000 e vogliamo trovare il valore di t. Quindi, basta sostituire questo valore nell'espressione data:

Per risolvere questa equazione, scriviamo il numero 4096 in fattori primi, perché se abbiamo la stessa base, possiamo eguagliare gli esponenti. Quindi, fattorizzando il numero, abbiamo:

Pertanto, la coltura avrà 8 192 000 batteri dopo 1 giorno (24 ore) dall'inizio dell'osservazione.

Esercizio 2

I materiali radioattivi hanno una tendenza naturale, nel tempo, a disintegrare la loro massa radioattiva. Il tempo che impiega metà della sua massa radioattiva a disintegrarsi è chiamato tempo di dimezzamento.

La quantità di materiale radioattivo di un dato elemento è data da:

Essere,

N(t): la quantità di materiale radioattivo (in grammi) in un dato tempo.
no₀: la quantità iniziale di materiale (in grammi)
T: tempo di emivita (in anni)
t: tempo (in anni)

Considerando che l'emivita di questo elemento è pari a 28 anni, determinare il tempo necessario affinché il materiale radioattivo si riduca al 25% della sua quantità iniziale.

Soluzione

Per la situazione proposta A(t) = 0,25 A₀ = 1/4 A₀, quindi possiamo scrivere l'espressione data, sostituendo T con 28 anni, quindi:

Pertanto, ci vorranno 56 anni per ridurre del 25% la quantità di materiale radioattivo.

Domande sul concorso

1) Unesp - 2018

L'ibuprofene è un farmaco prescritto per il dolore e la febbre, con un'emivita di circa 2 ore. Ciò significa che, ad esempio, dopo 2 ore dall'ingestione di 200 mg di ibuprofene, nel flusso sanguigno del paziente rimarranno solo 100 mg del farmaco. Dopo altre 2 ore (4 ore in totale), nel sangue rimarranno solo 50 mg e così via. Se un paziente riceve 800 mg di ibuprofene ogni 6 ore, la quantità di questo farmaco che rimarrà nel flusso sanguigno per la 14a ora dopo l'assunzione della prima dose sarà

a) 12,50 mg
b) 456,25 mg
c) 114,28 mg
d) 6,25 mg
e) 537,50 mg

Vedi risposta

Poiché la quantità iniziale di farmaco nel flusso sanguigno ogni 2 ore è divisa a metà, possiamo rappresentare questa situazione utilizzando il seguente schema:

Si noti che l'esponente, in ogni situazione, è uguale al tempo diviso 2. Pertanto, possiamo definire la quantità di farmaco nel flusso sanguigno in funzione del tempo, utilizzando la seguente espressione:

Essere

Q(t): la quantità in una data ora
Q₀: la quantità iniziale ingerita
t: tempo in ore

Considerando che 800 mg di ibuprofene venivano assunti ogni 6 h, allora abbiamo:

Per trovare la quantità di farmaco nel sangue 14 ore dopo aver ingerito la 1a dose, dobbiamo aggiungere le quantità riferite alla 1a, 2a e 3a dose. Calcolando queste quantità abbiamo:

La quantità della 1° dose si troverà considerando il tempo pari a 14 h, quindi avremo:

Per la seconda dose, come mostrato nel diagramma sopra, il tempo è stato di 8 ore. Sostituendo questo valore abbiamo:

Il tempo per la 3a dose sarà di sole 2 ore. La quantità relativa alla 3a dose sarà quindi:

Ora che conosciamo le quantità per ogni dose ingerita, possiamo trovare la quantità totale sommando ciascuna delle quantità trovate:

Q_totale= 6,25 + 50 + 400 = 456,25 mg

Alternativa b) 456,25 mg

2) UERJ - 2013

Un lago utilizzato per rifornire una città è stato contaminato dopo un incidente industriale, raggiungendo il livello di tossicità T₀, corrispondente a dieci volte il livello iniziale.
Leggi le informazioni di seguito.

• Il flusso naturale del lago permette di rinnovare il 50% del suo volume ogni dieci giorni.
• Il livello di tossicità T(x), dopo x giorni dall'incidente, può essere calcolato utilizzando la seguente equazione:

Si consideri D il minor numero di giorni di sospensione dell'erogazione dell'acqua, necessari affinché la tossicità ritorni al livello iniziale.
Se log 2 = 0,3, il valore di D è uguale a:

a) 30
b) 32
c) 34
d) 36

Vedi risposta

Per tornare al livello di tossicità iniziale è necessario che:

Sostituendo questo valore nella funzione data, abbiamo:

Moltiplicando in "croce", l'equazione diventa:

2 ^0,1x= 10

Applichiamo il logaritmo in base 10 a entrambi i membri per trasformarlo in un'equazione di 1° grado:

registro (2^0,1x) = log 10

Ricordando che il log di 10 in base 10 è uguale a 1, la nostra equazione sarà simile a:

0,1x. log 2 = 1

Considerando che log 2 = 0,3 e sostituendo questo valore nell'equazione:

Pertanto, il numero più breve di giorni, approssimativamente, in cui la fornitura dovrebbe essere sospesa è di 34 giorni.

Alternativa c) 34

3) Fuvesp - 2018

Sia f: ℝ → ℝ e g: ℝ₊ →ℝ definito da

rispettivamente.

Il grafico della funzione composta g_ºfede:

Vedi risposta

Il grafico che stai cercando è la funzione composta g_ºf, quindi, il primo passo è determinare questa funzione. Per questo, dobbiamo sostituire la funzione f (x) nella x della funzione g (x). Effettuando questa sostituzione, troveremo:

Usando la proprietà del logaritmo del quoziente e di una potenza, abbiamo:

Nota che la funzione trovata sopra è di tipo ax+b, che è una funzione affine. Quindi il tuo grafico sarà una linea retta.

Inoltre, la pendenza a è uguale a log₁₀ 5, che è un numero positivo, quindi il grafico sarà crescente. In questo modo, possiamo eliminare le opzioni b, c ed e.

Rimaniamo con le opzioni a e d, tuttavia, quando x=0 abbiamo gof = - log₁₀ 2 che è un valore negativo come rappresentato nel grafico a.

Alternativa a)

4) Unicamp - 2014

Il grafico sottostante mostra la curva del potenziale biotico q (t) per una popolazione di microrganismi nel tempo t.

Poiché aeb sono costanti reali, la funzione che può rappresentare questo potenziale è

a) q(t) = a + b
b) q(t) = ab^t
c) q(t) = at² + bt
d) q(t) = a + log _B t

Vedi risposta

Dal grafico mostrato, possiamo identificare che quando t=0, la funzione è uguale a 1000. Inoltre si può anche osservare che la funzione non è affine, in quanto il grafico non è una retta.

Se la funzione fosse di tipo q (t) = at²+bt, quando t = 0, il risultato sarebbe uguale a zero e non 1000. Quindi non è nemmeno una funzione quadratica.

Come accedere_B0 non è definito, potrebbe anche non avere la funzione q (t) = a + log come risposta_Bt.

Quindi, l'unica opzione sarebbe la funzione q(t) = ab^t. Considerando t=0, la funzione sarà q (t) = a, poiché a è un valore costante, è sufficiente che sia uguale a 1000 perché la funzione si adatti al grafico dato.

Alternativa b) q (t) = ab^t

5) Enem (PPL) - 2015

Il sindacato dei lavoratori di un'azienda suggerisce che il piano salariale della classe sia R$ 1.800,00, proponendo un aumento percentuale fisso per ogni anno dedicato al lavoro. L'espressione che corrisponde alla proposta di stipendio (s), in funzione dell'anzianità di servizio (t), in anni, è s (t) = 1800. (1,03)^t .

Secondo la proposta del sindacato, lo stipendio di un professionista di questa società con 2 anni di servizio sarà, in reais,

a) 7 416.00
b) 3.819,24
c) 3.709,62
d) 3.708,00
e) 1.909,62.

Vedi risposta

L'espressione per il calcolo del salario in funzione del tempo proposta dal sindacato corrisponde a una funzione esponenziale.

Per trovare il valore dello stipendio nella situazione indicata, calcoliamo il valore di s, quando t=2, come indicato di seguito:

s(2) = 1800. (1,03)² = 1800. 1,0609 = 1 909,62

Alternativa e) 1 909.62

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