La permutazione è una tecnica di conteggio utilizzata per determinare quanti modi esistono per ordinare gli elementi di un insieme finito. Fare uno scambio è fare uno scambio e, nei problemi di combinatoria, significa scambiare gli elementi del luogo, considerando il loro ordinamento.
Queste tecniche fanno parte di un campo della Matematica chiamato Analisi Combinatoria, che mira a conoscere e contare i diversi modi di organizzare gli insiemi e i loro elementi. La permutazione semplice e la a con elementi ripetuti affrontano questa categoria di problemi.
permutazione semplice
Una semplice permutazione è l'ordinamento degli elementi di un insieme finito, quando il loro gli elementi non si ripetono, sono distinti. Viene utilizzato per determinare la quantità di questi tipi.
L'ammontare di permutazioni di un insieme di n elementi è uguale a n! (si legge n fattoriale).
La formula per determinare il numero di permutazioni semplici è
Consideriamo un insieme con n elementi. Per organizzarli in una coda, dobbiamo scegliere il primo, e per questo abbiamo n possibilità. Per scegliere la seconda, abbiamo (n-1) possibilità, una in meno, perché abbiamo già usato un'opzione quando abbiamo scelto la prima. Questo processo continua finché non rimane un solo elemento.
Per determinare il numero totale di permutazioni, moltiplichiamo il numero di possibilità che esistono nella scelta di ciascun elemento. Così:
L'espressione sopra si chiama fattoriale di n e usiamo il simbolo no!.
impara di più riguardo fattoriale qui.
Esempio:
I diversi modi di organizzare le lettere di una parola sono chiamati anagrammi. Quanti anagrammi ci sono per la parola ANATRA?
Queste sono le possibilità:
Quindi, poiché la parola PATO ha 4 lettere, dobbiamo
Quindi ci sono 24 semplici permutazioni per la parola ANATRA.
Esercizi di permutazione semplici
domanda 1
Calcola il valore di .
Domanda 2
Si consideri una fila di persone per primo arrivato, primo servito dove, in un dato momento, ci sono sei persone. In quanti modi diversi queste persone potrebbero essere classificate dal primo all'ultimo?
Ogni modulo di ordinazione è una semplice permutazione, poiché gli individui sono unici e non si ripetono. Quindi, con sei persone, la risposta è una permutazione con 6 elementi.
Domanda 3
Considera la parola FORCELLA e rispondi alle seguenti domande?
a) Quanti sono gli anagrammi della parola FORK?
Poiché le lettere non vengono ripetute, questo è un semplice caso di permutazione a 5 elementi.
b) Quanti anagrammi iniziano con la lettera A?
In questo caso fissiamo la lettera A all'inizio e calcoliamo le permutazioni con le lettere GRFO, che sono permutazioni di 4 elementi.
1 possibilità per la lettera A x .
c) Quanti anagrammi ci sono se le vocali sono sempre una accanto all'altra?
Una possibilità sarebbe G R F A O.
Ci sono tre modi per ordinare le consonanti. P3 = 3 x 2 x 1 = 6
Ci sono due modi per ordinare le vocali. P2 = 2 x 1 = 2
Ci sono ancora altri due modi per organizzare i gruppi (consonanti e vocali) tra di loro. P2 = 2 x 1 = 2
Ora basta moltiplicare i risultati.
P3 x P2 x P2 = 6 x 2 x 2 = 24
Quindi ci sono 24 anagrammi in cui le vocali sono sempre insieme.
Permutazione con ripetizione
Una permutazione con elementi ripetuti avviene quando in un insieme di n elementi, alcuni di essi sono uguali.
Nella formula per determinare il numero di permutazioni con ripetizione, dividiamo il fattoriale del numero totale n di elementi per il prodotto dei fattoriali degli elementi ripetuti.
è il numero di permutazioni di n elementi.
è il numero di elementi di ogni tipo che si ripetono.
è il fattoriale del numero totale di elementi n.
Esempi
Determiniamo quante permutazioni ci sono per la parola EGG. Per semplificare, coloriamo le lettere. Diamo un'occhiata agli anagrammi della parola EGG.
Il numero di permutazioni semplici con 3 elementi è dato da
Tuttavia, alcune permutazioni si ripetono e non possiamo contarle due volte. Per questo dobbiamo dividere il valore di (perché la parola ha tre lettere), da
(perché la lettera O è ripetuta due volte).
Pertanto, il numero di permutazioni per le lettere della parola OVO è uguale a 3.
Diamo un'occhiata a quest'altro esempio in cui definiremo il numero di permutazioni per le lettere della parola BANANA.
Dove:
significa permutazione con 6 elementi dove si ripetono le lettere A e N.
3! perché la lettera A si ripete tre volte.
2! perché la lettera N è ripetuta due volte.
Un consiglio per rendere più facile il calcolo è sviluppare il 6! fino a raggiungere 3!, semplificando con il denominatore. Guarda lo sviluppo.
Pertanto, il numero di permutazioni per le lettere nella parola BANANA è pari a 60.
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