Gli angoli di 30º, 45º e 60º sono chiamati notevoli perché sono quelli che calcoliamo più spesso.
Pertanto, è importante conoscere i valori di seno, coseno e tangente di questi angoli.
Tavola degli angoli notevoli
La tabella sottostante è molto utile e può essere facilmente costruita seguendo i passaggi indicati.
Valore di seno e coseno di 30 e 60 60
voi angoli 30º e 60º sono complementari, cioè si sommano fino a 90º.
Abbiamo trovato il valore del seno 30° calcolando il rapporto tra il cateto opposto e l'ipotenusa. Il valore del coseno di 60º è il rapporto tra il cateto adiacente e l'ipotenusa.
In questo modo il seno a 30º e il coseno a 60º del triangolo mostrato sotto saranno dati da:
Quindi, troviamo che il valore del seno di 30° è uguale al valore del coseno di 60°. Lo stesso accade con il 60° seno e il 30° coseno, perché:
Quindi quando due angoli sono complementare, il valore del seno di uno è uguale al valore del coseno dell'altro.
Per trovare il valore di 30º seno (60º coseno) e 30º coseno (60º seno), consideriamo un triangolo equilatero ABC con lati uguali a L, rappresentato di seguito:
L'altezza (h) del triangolo equilatero coincide con la mediana, quindi l'altezza divide il lato rispetto al centro ().
Inoltre, l'altezza coincide con il bisettrice. In questo modo anche l'angolo viene diviso a metà, come mostrato in figura.
Consideriamo inoltre che il valore dell'altezza è dato da:
.
Per calcolare il seno e il coseno di 30º, considereremo il triangolo rettangolo AHB, che è stato ottenuto dal triangolo ABC.
Quindi abbiamo:
e
Valore di seno e coseno di 45º
Calcoleremo il valore di seno e coseno dell'angolo di 45°, da un quadrato di lato L rappresentato di seguito:
La diagonale del quadrato è la bisettrice dell'angolo, cioè la diagonale divide l'angolo a metà (45º). Inoltre, la diagonale misura .
Per trovare il valore di seno e coseno di 45º consideriamo il triangolo rettangolo ABC mostrato in figura:
Poi:
e
Valore tangente di 30°, 45° e 60°
Per calcolare la tangente degli angoli notevoli utilizzeremo il rapporto trigonometrico:
Così:
Per saperne di più leggi anche:
- Tavola Trigonometrica
- Seno, coseno e tangente
- Trigonometria nel triangolo rettangolo
- legge dei peccati
- Legge del coseno
Esercizi risolti
1) Un nuotatore attraversa un fiume con un angolo di 30° rispetto a una delle sponde. Sapendo che la larghezza del fiume misura 40 m, determina la distanza percorsa dal nuotatore per attraversare il fiume.
2) Enem - 2010
Un pallone atmosferico, lanciato a Bauru (343 chilometri a nord-ovest di San Paolo), la scorsa domenica sera, caduto questo lunedì a Cuiabá Paulista, nella regione del Presidente Prudente, spaventando gli agricoltori da regione. Il manufatto fa parte del programma Hibiscus Project, sviluppato da Brasile, Francia, Argentina, Inghilterra e Italia, per misurare il comportamento dello strato di ozono, e la sua discesa è avvenuta dopo il rispetto della tempo
misura prevista.
Nella data dell'evento, due persone hanno visto il pallone. Uno era a 1,8 km dalla posizione verticale del pallone e lo vedeva con un angolo di 60º; l'altro era a 5,5 km dalla posizione verticale del pallone, allineato con il primo, e nella stessa direzione, come si vede in figura, e lo vedeva con un angolo di 30º.
Qual è l'altezza approssimativa del palloncino?
a) 1,8 km
b) 1,9 km
c) 3,1 km
d) 3,7 km
e) 5,5 km
