Il teorema di Pitagora indica che, in un triangolo rettangolo, la misura dell'ipotenusa al quadrato è uguale alla somma dei quadrati delle misure della gamba.
Approfitta degli esercizi risolti e commentati per rispondere a tutti i tuoi dubbi su questo importante contenuto.
Esercizi proposti (con delibera)
domanda 1
Carlos e Ana sono usciti di casa per lavorare dallo stesso punto, il garage del palazzo in cui vivono. Dopo 1 minuto, percorrendo un percorso perpendicolare, erano distanti 13 m.
Se l'auto di Carlos ha fatto 7 m in più di quella di Ana in quel periodo, quanto distavano dal garage?
a) Carlos era a 10 m dal garage e Ana a 5 m.
b) Carlos era a 14 m dal garage e Ana a 7 m.
c) Carlos era a 12 m dal garage e Ana a 5 m.
d) Carlos era a 13 m dal garage e Ana a 6 m.
Risposta corretta: c) Carlos era a 12 m dal garage e Ana a 5 m.
I lati del triangolo rettangolo formato in questa domanda sono:
- ipotenusa: 13 m
- gamba più grande: 7 + x
- gamba più corta: x
Applicando i valori nel teorema di Pitagora, abbiamo:
Ora applichiamo la formula di Bhaskara per trovare il valore di x.
Trattandosi di una misura di lunghezza, dobbiamo utilizzare il valore positivo. Pertanto, i lati del triangolo rettangolo formato in questa domanda sono:
- ipotenusa: 13 m
- gamba più lunga: 7 + 5 = 12 m
- gamba più corta: x = 5 m
Quindi, Ana era a 5 metri dal garage e Carlos a 12 metri.
Domanda 2
Carla quando cercava il suo gattino lo vide in cima a un albero. Poi ha chiesto aiuto a sua madre e hanno messo una scala vicino all'albero per aiutare il gatto a scendere.
Sapendo che il gatto era a 8 metri da terra e la base della scala era posizionata a 6 metri dall'albero, quanto tempo è stata utilizzata la scala per salvare il gattino?
a) 8 metri.
b) 10 metri.
c) 12 metri.
d) 14 metri.
Risposta corretta: b) 10 metri.
Nota che l'altezza alla quale si trova il gatto e la distanza alla base della scala è stata posizionata formano un angolo retto, cioè un angolo di 90 gradi. Poiché la scala è posizionata di fronte all'angolo retto, la sua lunghezza corrisponde all'ipotenusa del triangolo rettangolo.
Applicando i valori dati nel teorema di Pitagora scopriamo il valore dell'ipotenusa.
Pertanto, la scala è lunga 10 metri.
Domanda 3
Secondo le misure presentate nelle alternative sottostanti, quale presenta i valori di un triangolo rettangolo?
a) 14 cm, 18 cm e 24 cm
b) 21 cm, 28 cm e 32 cm
c) 13 cm, 14 cm e 17 cm
d) 12 cm, 16 cm e 20 cm
Risposta corretta: d) 12 cm, 16 cm e 20 cm.
Per scoprire se le misure presentate formano un triangolo rettangolo dobbiamo applicare il teorema di Pitagora per ogni alternativa.
a) 14 cm, 18 cm e 24 cm
b) 21 cm, 28 cm e 32 cm
c) 13 cm, 14 cm e 17 cm
d) 12 cm, 16 cm e 20 cm
Pertanto, le misure 12 cm, 16 cm e 20 cm corrispondono ai lati di un triangolo rettangolo, in quanto il quadrato dell'ipotenusa, il lato maggiore, è uguale alla somma dei quadrati dei cateti.
domanda 4
Notare le seguenti figure geometriche, che hanno un lato situato nell'ipotenusa di un triangolo rettangolo che misura 3 m, 4 me 5 m.
Trova l'altezza (h) del triangolo equilatero BCD e il valore della diagonale (d) del quadrato BCFG.
a) h = 4,33 m e d = 7,07 m
b) h = 4,72 m e d = 8,20 m
c) h = 4,45 m e d = 7,61 m
d) h = 4,99 m e d = 8,53 m
Risposta corretta: a) h = 4,33 me d = 7,07 m.
Poiché il triangolo è equilatero, significa che i suoi tre lati hanno la stessa misura. Disegnando una linea che corrisponde all'altezza del triangolo, lo dividiamo in due triangoli rettangoli.
Lo stesso vale con il quadrato. Quando tracciamo la sua linea diagonale, possiamo vedere due triangoli rettangoli.
Applicando i dati dall'affermazione nel teorema di Pitagora, troviamo i valori come segue:
1. Calcolo dell'altezza del triangolo (gamba del triangolo rettangolo):
Arriviamo quindi alla formula per il calcolo dell'altezza. Ora, sostituisci il valore di L e calcolalo.
2. Calcolo della diagonale del quadrato (ipotenusa del triangolo rettangolo):
Pertanto, l'altezza del triangolo equilatero BCD è 4,33 e il valore della diagonale del quadrato BCFG è 7,07.
Vedi anche: teorema di Pitagora
Problemi relativi all'esame di ammissione risolti
domanda 5
(Cefet/MG - 2016) Un aquilone, la cui figura è mostrata sotto, è stato costruito a forma di quadrilatero ABCD, essendo e
. il bastone
dell'aquilone interseca la canna
nel suo punto medio E, formando un angolo retto. Nella costruzione di questo aquilone, le misure di
utilizzati sono, rispettivamente, 25 cm e 20 cm, e la misura di
è uguale a
della misura di
.
In queste condizioni, la misura di , in cm, è uguale a
a) 25.
b) 40.
c) 55.
d) 70.
Alternativa corretta: c) 55.
Guardando la figura nella domanda, vediamo che il segmento DE, che vogliamo trovare, è lo stesso del segmento BD sottraendo il segmento BE.
Quindi, poiché sappiamo che il segmento BE è uguale a 20 cm, dobbiamo trovare il valore del segmento BD.
Tieni presente che il problema fornisce le seguenti informazioni:
Quindi per trovare la misura di BD, dobbiamo conoscere il valore del segmento AC.
Poiché il punto E divide il segmento in due parti uguali (punto medio), allora . Pertanto, il primo passo è trovare la misura del segmento CE.
Per trovare la misura CE, abbiamo identificato che il triangolo BCE è un rettangolo, che BC è l'ipotenusa e BE e CE sono le gambe, come mostrato nell'immagine qui sotto:
Applicheremo quindi il teorema di Pitagora per trovare la misura della gamba.
252 = 202+x2
625 = 400 + x2
X2 = 625 - 400
X2 = 225
x = 225
x = 15 cm
Per trovare il collare avremmo anche potuto osservare che il triangolo è pitagorico, cioè le misure dei suoi lati sono numeri multipli delle misure del triangolo 3, 4, 5.
Quindi, moltiplicando 4 per 5 abbiamo il valore del collare (20) e moltiplicando 5 per 5 abbiamo l'ipotenusa (25). Pertanto, l'altra gamba potrebbe essere solo 15 (5. 3).
Ora che abbiamo trovato il valore EC, possiamo trovare le altre misure:
AC = 2. CE ⇒ CA = 2,15 = 30 cm
Pertanto, la misura di è pari a 55 cm.
Vedi anche: Pitagora
domanda 6
(IFRS - 2017) Si consideri un triangolo equilatero con lato 5√3 ܿ݉. Qual è l'altezza e l'area di questo triangolo, rispettivamente?
Alternativa corretta: e) 7,5 cm e 75√3/4 cm2
Per prima cosa, disegniamo il triangolo equilatero e tracciamo l'altezza, come mostrato nell'immagine qui sotto:
Nota che l'altezza divide la base in due segmenti della stessa misura, poiché il triangolo è equilatero. Nota anche che il triangolo ACD nella figura è un triangolo rettangolo.
Quindi, per trovare la misura dell'altezza, utilizzeremo il teorema di Pitagora:
Conoscendo la misura dell'altezza, possiamo trovare l'area attraverso la formula:
domanda 7
(IFRS - 2016) Nella figura seguente, il valore di x e y, rispettivamente, è
Alternativa corretta: a) 4√2 e √97.
Per trovare il valore di x, applichiamo il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo che ha i lati pari a 4 cm.
X2 = 42 + 42
X2 = 16 + 16
x = 32
x = 4√2 cm
Per trovare il valore di y utilizzeremo anche il teorema di Pitagora, considerando ora che una gamba misura 4 cm e l'altra 9 cm (4 + 5 = 9).
sì2 = 42 + 92
sì2 = 16 + 81
y = 97 cm
Pertanto, il valore di x e y, rispettivamente, è 4√2 e √97.
domanda 8
(Apprendista Marinaio - 2017) Guarda la figura sottostante.
Nella figura sopra, c'è un triangolo isoscele ACD, in cui il segmento AB misura 3 cm, il lato disuguale AD misura 10√2 cm e i segmenti AC e CD sono perpendicolari. Pertanto, è corretto affermare che il segmento BD misura:
a) √53 cm
b) √97 cm
c) √111 cm
d) √149 cm
e) √161 cm
Alternativa corretta: d) √149 cm
Considerando le informazioni presentate nel problema, costruiamo la figura seguente:
Secondo la figura, troviamo che per trovare il valore di x, sarà necessario trovare la misura del lato che chiamiamo a.
Poiché il triangolo ACD è un rettangolo, applicheremo il teorema di Pitagora per trovare il valore della gamba a.
Ora che conosciamo il valore di a, possiamo trovare il valore di x considerando il triangolo rettangolo BCD.
Nota che la gamba BC è uguale alla misura della gamba meno 3 cm, cioè 10 - 3 = 7 cm. Applicando il teorema di Pitagora a questo triangolo, abbiamo:
Pertanto, è corretto affermare che il segmento BD misura √149 cm.
domanda 9
(IFRJ - 2013) Il campo sportivo del Campus Arrozal di un Istituto Federale è rettangolare, lungo 100 me largo 50 m, rappresentato dal rettangolo ABCD in questa figura.
Alberto e Bruno sono due studenti, che praticano sport in cortile. Alberto cammina dal punto A al punto C lungo la diagonale del rettangolo e ritorna al punto di partenza lungo lo stesso percorso. Bruno parte dal punto B, fa il giro completo del cortile, cammina lungo le linee laterali, e torna al punto di partenza. Quindi, considerando √5 = 2.24, si afferma che Bruno ha camminato più di Alberto
a) 38 mt.
b) 64 metri.
c) 76 metri.
d) 82 metri.
Alternativa corretta: c) 76 m.
La diagonale del rettangolo lo divide in due triangoli rettangoli, essendo l'ipotenusa la diagonale e i lati uguali ai lati del rettangolo.
Quindi, per calcolare la misura diagonale, applichiamo il teorema di Pitagora:
Mentre Alberto andava e tornava, così ha percorso 224 m.
Bruno ha percorso una distanza pari al perimetro del rettangolo, in altre parole:
p = 100 + 50 + 100 + 50
p = 300 m
Bruno ha quindi percorso 76 m in più di Alberto (300 - 112 = 76 m).
domanda 10
(Enem - 2017) Per decorare la tavola di una festa per bambini, uno chef utilizzerà un melone sferico del diametro di 10 cm, che fungerà da supporto per infilzare vari dolci. Rimuoverà un coprimozzo sferico dal melone, come mostrato in figura, e, per garantire la stabilità di questo supporto, rendendo difficile il rotolamento del melone sul tavolo, il boss taglierà in modo che il raggio r della sezione di taglio circolare sia peloso. meno 3 cm. D'altra parte, lo chef vorrà avere la più ampia area possibile nella regione in cui verranno fissati i dolci.
Per raggiungere tutti i suoi obiettivi, il capo deve tagliare il cappello di melone ad un'altezza h, in centimetri, pari a
Alternativa corretta: c) 1
Osservando la figura presentata nella domanda, abbiamo individuato che l'altezza h si trova diminuendo la misura del segmento OA dalla misura del raggio della sfera (R).
Il raggio della sfera (R) è pari alla metà del suo diametro, che in questo caso è pari a 5 cm (10: 2 = 5).
Quindi dobbiamo trovare il valore del segmento OA. Per questo, considereremo il triangolo OAB rappresentato nella figura sottostante e applicheremo il teorema di Pitagora.
52 = 32 + x2
X2 = 25 - 9
x = √16
x = 4 cm
Potremmo anche trovare direttamente il valore di x, notando che è il triangolo pitagorico 3,4 e 5.
Quindi il valore di h sarà uguale a:
h = R - x
h = 5 - 4
h = 1 cm
Pertanto, lo chef dovrebbe tagliare la calotta del melone ad un'altezza di 1 cm.
domanda 11
(Enem - 2016 - 2° applicazione) La boccia è uno sport praticato su campi, che sono terreni pianeggianti e livellati, delimitati da piattaforme perimetrali in legno. L'obiettivo di questo sport è quello di lanciare le bocce, che sono palline di materiale sintetico, al fine di posizionarli il più vicino possibile al bolim, che è una palla più piccola, preferibilmente di acciaio, precedentemente lanciato. La figura 1 illustra una palla da bocce e un bolim che sono state giocate su un campo. Supponiamo che un giocatore abbia lanciato una palla, con un raggio di 5 cm, che è stata appoggiata al bollin, con un raggio di 2 cm, come mostrato in figura 2.
Considera il punto C come centro della palla e il punto O come centro della palla. È noto che A e B sono i punti in cui rispettivamente la boccia e il bollin toccano il suolo del campo e che la distanza tra A e B è pari a d. In queste condizioni, qual è il rapporto tra d e il raggio del bolim?
Alternativa corretta: e) √10
Per calcolare il valore della distanza d tra i punti A e B, costruiamo una figura che unisce i centri delle due sfere, come mostrato di seguito:
Notare che la figura tratteggiata blu ha la forma di un trapezio. Dividiamo questo trapezio, come mostrato di seguito:
Dividendo il trapezio, otteniamo un rettangolo e un triangolo rettangolo. L'ipotenusa del triangolo è uguale alla somma del raggio della boccia con il raggio del bolim, cioè 5 + 2 = 7 cm.
La misura di una gamba è uguale a d e la misura dell'altra gamba è uguale alla misura del segmento CA, che è il raggio della boccia, meno il raggio del bolim (5 - 2 = 3) .
In questo modo possiamo trovare la misura di d, applicando a questo triangolo il teorema di Pitagora, cioè:
72 = 32 - di2
d2 = 49 - 9
d = √40
d = 2 √10
Pertanto, il rapporto tra la distanza d e il bolim sarà dato da:.
domanda 12
(Enem - 2014) Ogni giorno una residenza consuma 20 160 Wh. Questa residenza ha 100 celle solari rettangolare (dispositivi in grado di convertire la luce solare in energia elettrica) misura 6 cm x 8 cm. Ciascuna di queste celle produce, nell'arco della giornata, 24 Wh per centimetro di diagonale. Il proprietario di questa casa vuole produrre, al giorno, esattamente la stessa quantità di energia che consuma la sua casa. Cosa dovrebbe fare questo proprietario per raggiungere il suo obiettivo?
a) Rimuovere 16 celle.
b) Rimuovere 40 cellule.
c) Aggiungere 5 celle.
d) Aggiungi 20 celle.
e) Aggiungi 40 celle.
Alternativa corretta: a) Rimuovere 16 celle.
Innanzitutto, dovrai scoprire qual è la produzione di energia di ciascuna cella. Per questo, dobbiamo trovare la misura della diagonale del rettangolo.
La diagonale è uguale all'ipotenusa del triangolo con i cateti pari a 8 cm e 6 cm. Calcoleremo quindi la diagonale applicando il teorema di Pitagora.
Osserviamo però che il triangolo in questione è pitagorico, essendo multiplo del triangolo 3,4 e 5.
In questo modo la misura dell'ipotenusa sarà pari a 10 cm, moltiplicando i lati del triangolo pitagorico 3,4 e 5 per 2.
Ora che conosciamo la misura diagonale, possiamo calcolare l'energia prodotta dalle 100 celle, ovvero:
E = 24. 10. 100 = 24 000 Wh
Poiché l'energia consumata è pari a 20 160 Wh, dovremo ridurre il numero di celle. Per trovare questo numero faremo:
24 000 - 20 160 = 3 840 Wh
Dividendo questo valore per l'energia prodotta da una cella, troviamo il numero da ridurre, ovvero:
3 840: 240 = 16 celle
Pertanto, l'azione del proprietario per raggiungere il suo obiettivo dovrebbe essere quella di rimuovere 16 celle.
Per saperne di più, vedi anche: Esercizi di trigonometria
