Studiando l'insieme dei Numeri Razionali, troviamo alcune frazioni che, convertite in numeri decimali, diventano decimali periodici. Per eseguire questa trasformazione, dobbiamo dividere il numeratore della frazione per il suo denominatore, come nel caso della frazione 
. Allo stesso modo, attraverso un decimale periodico, possiamo trovare la frazione che l'ha originata. Questa frazione si chiama "frazione generatrice”.
In qualsiasi decimale periodico, il numero che si ripete è chiamato l'andamento del tempo. Nell'esempio dato, abbiamo un semplice decimale periodico e il periodo è il numero 6. Attraverso una semplice equazione, possiamo trovare la frazione generatrice di 0,6666…
Innanzitutto possiamo affermare che:
X = 0,666...
Da lì, controlliamo quante cifre ha il periodo. In questo caso, il periodo ha una cifra. Quindi moltiplichiamo entrambi i lati dell'equazione per 10, se il periodo avesse 2 cifre, moltiplicheremmo per 100, nel caso di 3 cifre, per 1000 e così via. Quindi, avremo:
10X = 6,666...
Nel secondo membro dell'equazione, possiamo spezzare il numero 6,666... in un numero intero e un altro decimale come segue:
10 X = 6 + 0,666...
Tuttavia, proprio all'inizio abbiamo affermato che X = 0,666..., quindi possiamo sostituire la parte decimale dell'equazione con x e ci rimane:
10 x = 6 + X
Utilizzando le proprietà di base delle equazioni, possiamo quindi modificare la variabile x dal secondo al primo lato dell'equazione:
10 x - x = 6
Risolvendo l'equazione avremo:
9 x = 6
x = 6
9
Semplificando la frazione per 3, abbiamo:
x = 2
3
Presto, 
, cioè 
è la frazione generatrice del decimale periodico 0,6666... .
Vediamo quando abbiamo un decimale periodico composto, come nel caso di 0,03131… Inizieremo allo stesso modo:
X = 0,03131...
Per rendere questa uguaglianza più simile all'esempio precedente, dobbiamo cambiarla in modo da non avere alcun numero tra il segno di uguale e il punto. Per questo, moltiplichiamo l'equazione per 10:
10 X = 0,313131... ***
Seguendo il ragionamento utilizzato nel primo esempio, abbiamo che il decimale periodico ha un periodo di due cifre, quindi moltiplichiamo l'equazione per 100.
1000 X = 31,313131...
Ora basta spezzare l'intera parte del decimale, nel secondo membro dell'uguaglianza.
1000 X = 31 + 0,313131...
ma da ***, Dobbiamo 10 X = 0,313131..., sostituiamo il numero decimale con 10 X.
1000 X = 31 + 10 X
1000 X - 10 x = 31
990 X = 31
X = 31
990
Quindi la frazione generatrice di 0,0313131… é 31 . Questa regola può essere applicata a tutte le decime periodiche.
990
di Amanda Gonçalves
Laureato in Matematica
Fonte: Scuola Brasile - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/geratriz-uma-dizima-periodica.htm
