I numeri complessi sono numeri composti da una parte reale e una immaginaria.
Rappresentano l'insieme di tutte le coppie ordinate (x, y), i cui elementi appartengono all'insieme dei numeri reali (R).
L'insieme dei numeri complessi è indicato da Ç e definito dalle operazioni:
- Uguaglianza: (a, b) = (c, d) ↔ a = c e b = d
- aggiunta: (a, b) + (c, d) = (a + b + c + d)
- Moltiplicazione: (a, b). (c, d) = (ac – bd, ad + bc)
Unità immaginaria (i)
Indicato dalla lettera io, l'unità immaginaria è la coppia ordinata (0, 1). Presto:
io. io = -1 ↔ io2 = –1
Così, io è la radice quadrata di –1.
Forma algebrica di Z
La forma algebrica di Z viene utilizzata per rappresentare un numero complesso utilizzando la formula:
Z = x + yi
Dove:
- X è un numero reale indicato da x = Re (Z), essendo chiamato parte reale di z.
- sì è un numero reale indicato da y = Im(Z), essendo chiamato parte immaginaria di Z.
Numero complesso coniugato Number
Il coniugato di un numero complesso è indicato da z, definito da z = a - bi. Così si scambia il segno della sua parte immaginaria.
Quindi se z = a + bi, allora z = a – bi
Quando moltiplichiamo un numero complesso per il suo coniugato, il risultato sarà un numero reale.
Uguaglianza tra numeri complessi
Essendo due numeri complessi Z1 = (a, b) e Z2 = (c, d), sono uguali quando a = c e b = d. Questo perché hanno parti reali e immaginarie identiche. Così:
a + bi = c + di quando a = c e b = d
Operazioni con numeri complessi
Con i numeri complessi è possibile eseguire operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione. Dai un'occhiata alle definizioni e agli esempi di seguito:
aggiunta
Z1 + Z2 = (a + c, b + d)
In forma algebrica abbiamo:
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + io (b + d)
Esempio:
(2 +3i) + (–4 + 5i)
(2 - 4) + io (3 + 5)
–2 + 8i
Sottrazione
Z1 – Z2 = (a - c, b - d)
In forma algebrica abbiamo:
(a + bi) - (c + di) = (a - c) + io (b - d)
Esempio:
(4 - 5i) - (2 + i)
(4 – 2) + i (–5 –1)
2 - 6i
Moltiplicazione
(a, b). (c, d) = (ac – bd, ad + bc)
In forma algebrica, usiamo la proprietà distributiva:
(a + bi). (c + di) = ac + adi + bci + bdi2 (io2 = –1)
(a + bi). (c + di) = ac + adi + bci – bd
(a + bi). (c + di) = (ac - bd) + i (ad + bc)
Esempio:
(4 + 3i). (2 - 5i)
8 – 20i + 6i – 15i2
8 - 14i + 15
23 – 14i
Divisione
Z1/Z2 = Z3
Z1 = Z2. Z3
Nella precedente uguaglianza, se Z3 = x + yi, abbiamo:
Z1 = Z2. Z3
a + bi = (c + di). (x + yi)
a + bi = (cx - dy) + i (cy + dx)
Per il sistema di incognite x e y abbiamo:
cx - dy = a
dx + cy = b
Presto,
x = ac + bd/c2 + d2
y = bc - ad/c2 + d2
Esempio:
2 - 5i/i
2 – 5i/. (– i)/ (– i)
-2i +5i2/–i2
5 – 2i
Esercizi per l'esame di ammissione con feedback
1. (UF-TO) Considera io l'unità immaginaria dei numeri complessi. Il valore l'espressione (i + 1)8 é:
a) 32i
b) 32
c) 16
d) 16i
Alternativa c: 16
2. (UEL-PR) Il numero complesso z che controlla l'equazione iz – 2w (1 + i) = 0 (w indica il coniugato di z) è:
a) z = 1 + i
b) z = (1/3) - i
c) z = (1 - i)/3
d) z = 1 + (i/3)
e) z = 1 - i
Alternativa e: z = 1 - i
3. (Vunesp-SP) Si consideri il numero complesso z = cos π/6 + i sin π/6. il valore di z3 + Z6 + Z12 é:
Là
b) ½ +√3/2i
c) io – 2
d) io
e) 2i
Alternativa d: i
Scopri altre domande, con risoluzione commentata, in Esercizi sui numeri complessi.
Video lezioni
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Storia dei numeri complessi
La scoperta dei numeri complessi avvenne nel XVI secolo grazie ai contributi del matematico Girolamo Cardano (1501-1576).
Tuttavia, fu solo nel XVIII secolo che questi studi furono formalizzati dal matematico Carl Friedrich Gauss (1777-1855).
Questo è stato un importante passo avanti in matematica, poiché un numero negativo ha una radice quadrata, cosa che fino alla scoperta dei numeri complessi era considerata impossibile.
Per saperne di più, vedi anche
- Insiemi numerici
- polinomi
- numeri irrazionali
- Equazione di 1° grado
- Potenziamento e radiazioni
