Sistemi Lineari: cosa sono, tipologie e come risolverli

I sistemi lineari sono insiemi di equazioni associate tra loro che hanno la seguente forma:

La parentesi graffa sinistra è il simbolo utilizzato per segnalare che le equazioni fanno parte di un sistema. Il risultato del sistema è dato dal risultato di ciascuna equazione.

i coefficienti a_m, a_m2, a_m3,..., a_n3, a_n2, a_n1 delle incognite x₁, X_m2,X_m3,..., X_n3, X_n2, X_n1 sono numeri reali.
Allo stesso tempo, b è anche un numero reale chiamato termine indipendente.

I sistemi lineari omogenei sono quelli il cui termine indipendente è uguale a 0 (zero): a₁X₁ + il₂X₂ = 0.
Pertanto, quelli con termine indipendente diverso da 0 (zero) indicano che il sistema non è omogeneo: a₁X₁ + il₂X₂ = 3.

Classificazione

I sistemi lineari possono essere classificati in base al numero di soluzioni possibili. Ricordando che la soluzione delle equazioni si trova sostituendo le variabili con dei valori.

• Sistema possibile e determinato (SPD): esiste una sola soluzione possibile, che si verifica quando il determinante è diverso da zero (D ≠ 0).
• Sistema possibile e indeterminato (SPI): le possibili soluzioni sono infinite.
• Sistema Impossibile (SI): non è possibile presentare alcun tipo di soluzione.

A matrici associato a un sistema lineare può essere completo o incompleto. Le matrici che considerano i termini indipendenti delle equazioni sono complete.

I sistemi lineari sono classificati come normali quando il numero di equazioni è uguale al numero di incognite. Inoltre, quando il determinante della matrice incompleta di quel sistema non è uguale a zero.

Esercizi risolti

Risolviamo ogni equazione passo dopo passo per classificarle in SPD, SPI o SI.

Esempio 1 - Sistema lineare con 2 equazioni

Esempio 2 - Sistema lineare con 3 equazioni

Se D = 0, possiamo trovarci di fronte a un SPI oa un SI.

Leggere:

• Sistemi di equazioni
• Sistemi di equazioni di 1° grado - Esercizi
• determinanti
• Equazione di primo grado
• Equazione di secondo grado
• Linee concorrenti