Insiemi numerici: naturale, intero, razionale, irrazionale e reale

voi insiemi numerici riuniscono più insiemi i cui elementi sono numeri. Sono formati da numeri naturali, interi, razionali, irrazionali e reali. La branca della matematica che studia gli insiemi numerici è la teoria degli insiemi.

Controlla di seguito le caratteristiche di ciascuno di essi, come concetto, simbolo e sottoinsiemi.

Insieme di numeri naturali (N)

Il set di numeri naturali è rappresentato da no. Raccoglie i numeri che usiamo per contare (incluso lo zero) ed è infinito.

Sottoinsiemi di numeri naturali

• N* = {1, 2, 3, 4, 5..., n, ...} oppure N* = N – {0}: insiemi di numeri naturali diversi da zero, cioè senza zero.
• no_P = {0, 2, 4, 6, 8..., 2n, ...}, dove n ∈ N: insieme di numeri naturali pari.
• no_io = {1, 3, 5, 7, 9..., 2n+1, ...}, dove n ∈ N: insieme di numeri naturali dispari.
• P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}: insieme di numeri naturali primi.

Insieme di numeri interi (Z)

Il set di numeri interi è rappresentato da Z. Riunisce tutti gli elementi dei numeri naturali (N) e i loro opposti. Quindi, si conclude che N è un sottoinsieme di Z (N ⊂ Z):

Sottoinsiemi di numeri interi

• Z* = {..., –4, –3, –2, –1, 1, 2, 3, 4, ...} o Z* = Z – {0}: insiemi di numeri interi diversi da zero, cioè, senza lo zero.
• Z₊ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}: insieme di numeri interi e non negativi. Nota che Z₊ = n.
• Z^*₊= {1, 2, 3, 4, 5, ...}: insieme di interi positivi senza zero.
• Z _– = {..., –5, –4, –3, –2, –1, 0}: insieme di interi non positivi.
• Z^*_–= {..., –5, –4, –3, –2, –1}: insieme di interi negativi senza zero.

Insieme di numeri razionali (Q)

Il set di numeri razionali è rappresentato da Q. Raccoglie tutti i numeri che possono essere scritti nella forma p/q, essendo P e che cosa interi e q≠0.

Q = {0, ±1, ±1/2, ±1/3,..., ±2, ±2/3, ±2/5,..., ±3, ±3/2, ±3/ 4, ...}

Nota che ogni numero intero è anche un numero razionale. Quindi Z è un sottoinsieme di Q.

Sottoinsiemi di numeri razionali

• D* = sottoinsieme dei numeri razionali diversi da zero, formato dai numeri razionali senza lo zero.
• Q₊ = sottoinsieme di numeri razionali non negativi, formato da numeri razionali positivi e zero.
• Q^*₊ = sottoinsieme dei numeri razionali positivi, formato dai numeri razionali positivi, senza lo zero.
• Q_– = sottoinsieme di numeri razionali non positivi, formato da numeri razionali negativi e zero.
• D*_– = sottoinsieme di numeri razionali negativi, numeri razionali negativi formati, senza zero.

Insieme di numeri irrazionali (I)

Il set di numeri irrazionali è rappresentato da io. Raccoglie numeri decimali inesatti con una rappresentazione infinita, non periodica, ad esempio: 3.141592... oppure 1.203040...

È importante notare che decime periodiche sono numeri razionali e non irrazionali. Sono numeri decimali che si ripetono dopo la virgola, ad esempio: 1.3333333...

Serie di numeri reali (R)

Il set di numeri reali è rappresentato da R. Questo insieme è formato dai numeri razionali (Q) e irrazionali (I). Quindi abbiamo che R = Q ∪ I. Inoltre, N, Z, Q e I sono sottoinsiemi di R.

Ma nota che se un numero reale è razionale, non può essere nemmeno irrazionale. Allo stesso modo, se è irrazionale, non è razionale.

Sottoinsiemi di numeri reali

• R^*= {x ∈ R│x ≠ 0}: insieme di numeri reali diversi da zero.
• R₊= {x ∈ R│x ≥ 0}: insieme di numeri reali non negativi.
• R^*₊= {x ∈ R│x > 0}: insieme di numeri reali positivi.
• R_– = {x ∈ R│x ≤ 0}: insieme di numeri reali non positivi.
• R^*_– = {x ∈ R│x

Leggi anche su Numeri: cosa sono, storia e scenografie.

Intervalli numerici

C'è anche un sottoinsieme relativo ai numeri reali che sono chiamati intervalli. essere Il e B numeri reali e ad intervalli reali:

gamma aperta estrema: ]a, b[ = {x ∈ R│a

Gamma chiusa di estremi: [a, b] = {x ∈ R│a ≤ x ≤ b}

Intervallo aperto a destra (o lasciato chiuso) degli estremi: [a, b[ = {x ∈ R│a ≤ x

lasciato intervallo aperto (o chiuso a destra) degli estremi: ]a, b] = {x ∈ R│a

Proprietà degli insiemi numerici

Diagramma di insiemi numerici

Per facilitare gli studi sugli insiemi numerici, di seguito sono riportate alcune delle loro proprietà:

• L'insieme dei numeri naturali (N) è un sottoinsieme degli interi: Z (N ⊂ Z).
• L'insieme degli interi (Z) è un sottoinsieme dei numeri razionali: (Z ⊂ Q).
• L'insieme dei numeri razionali (Q) è un sottoinsieme dei numeri reali (R).
• Gli insiemi dei numeri naturali (N), interi (Z), razionali (Q) e irrazionali (I) sono sottoinsiemi dei numeri reali (R).

Esercizi per l'esame di ammissione con feedback

1. (UFOP-MG) Per quanto riguarda i numeri a = 0,49999... e b = 0,5, è corretto affermare:

a) b = a + 0,011111
b) a = b
ç) Il è irrazionale e B è razionale
dà

Vedi risposta

Alternativa b: a = b

2. (UEL-PR) Annotare i seguenti numeri:

IO. 2,212121...
II. 3,212223...
III. π/5
IV. 3,1416
v. √– 4

Controlla l'alternativa che identifica i numeri irrazionali:

a) I e II.
b) I e IV.
c) II e III.
d) II e V.
e) III e V.

Vedi risposta

Alternativa c: II e III.

3. (Cefet-CE) L'insieme è unitario:

a) {x ∈ Z│x b) {x ∈ Z│x² > 0}
c) {x ∈ R│x² = 1}
d) {x ∈ Q│x² e) {x ∈ N│1

Vedi risposta

Alternativa e: {x ∈ N│1

Leggi anche:

• Insiemistica
• Numeri complessi
• Operazioni con gli insiemi
• Esercizi sulle serie
• Esercizi sugli insiemi numerici
• Esercizi sui numeri complessi