voi insiemi numerici includono i seguenti insiemi: Naturali (ℕ), Interi (ℤ), Razionali (ℚ), Irrazionali (I), Reali (ℝ) e Complessi (ℂ).
Approfitta degli esercizi commentati per verificare le tue conoscenze su questo importante argomento della Matematica.
domanda 1
Quale proposizione di seguito è vera?
a) Ogni numero intero è razionale e ogni numero reale è un intero.
b) L'intersezione dell'insieme dei numeri razionali con l'insieme dei numeri irrazionali ha 1 elemento.
c) Il numero 1.83333... è un numero razionale.
d) La divisione di due numeri interi è sempre un numero intero.
Alternativa corretta: c) Il numero 1.83333... è un numero razionale.
Diamo un'occhiata a ciascuna delle affermazioni:
a) Falso. In realtà ogni numero intero è razionale, in quanto può essere scritto sotto forma di frazione. Ad esempio, il numero -7, che è un numero intero, può essere scritto come frazione come -7/1. Tuttavia, non tutti i numeri reali sono interi, ad esempio 1/2 non è un intero.
b) Falso. L'insieme dei numeri razionali non ha numeri in comune con quelli irrazionali, poiché un numero reale è razionale o irrazionale. Pertanto, l'intersezione è un insieme vuoto.
c) Vero. Il numero 1.83333... è una decima periodica perché la cifra 3 si ripete all'infinito. Questo numero può essere scritto come frazione come 11/6, quindi è un numero razionale.
d) Falso. Ad esempio, 7 diviso 3 è uguale a 2,33333..., che è un decimale periodico, quindi non è un numero intero.
Domanda 2
Il valore dell'espressione seguente, quando a = 6 e b = 9, è:
a) un numero naturale dispari
b) un numero che appartiene all'insieme dei numeri irrazionali
c) non è un numero reale
d) un numero intero il cui modulo è maggiore di 2
Alternativa corretta: d) un numero intero il cui modulo è maggiore di 2.
Per prima cosa sostituiamo le lettere con i valori indicati e risolviamo l'espressione:
Nota che (-6)2 è diverso da - 62, la prima operazione può essere eseguita come: (-6)2 = (- 6). (- 6) = 36. Senza parentesi, solo 6 è al quadrato, cioè - 62 = - (6.6) = -36.
Continuando la risoluzione, abbiamo:
Nota che poiché l'indice della radice è un numero dispari (radice cubica), c'è una radice numerica negativa nell'insieme dei numeri reali. Se l'indice radice fosse un numero pari, il risultato sarebbe un numero complesso.
Ora, analizziamo ciascuna delle opzioni presentate:
L'opzione Il è sbagliato perché la risposta è un numero negativo che non fa parte dell'insieme dei numeri naturali.
Il numero - 3 non è un decimale infinito non periodico, quindi non è un irrazionale, da qui la lettera B non è nemmeno la soluzione giusta.
La lettera ç è anche sbagliato, poiché il numero - 3 è un numero appartenente all'insieme dei numeri reali.
L'opzione corretta può essere solo la lettera d e in realtà il risultato dell'espressione è un numero intero e il modulo di -3 è 3 che è maggiore di 2.
Domanda 3
Negli insiemi (A e B) della tabella sottostante, quale alternativa rappresenta una relazione di inclusione?
Alternativa corretta: a)
L'alternativa "a" è l'unica in cui un insieme è incluso in un altro. Il set A include il set B o il set B è incluso in A.
Quindi quali affermazioni sono corrette?
I - LA DO SI
II - SI DO LA
III - LA SI
IV - SI Ɔ LA
a) I e II.
b) I e III.
c) I e IV.
d) II e III.
e) II e IV
Alternativa corretta: d) II e III.
I - Sbagliato - A non è contenuto in B (A Ȼ B).
II - Corretto - B è contenuto in A (B C A).
III - Corretto - A contiene B (B Ɔ A).
IV - Sbagliato - B non contiene A (B ⊅ A).
domanda 4
Abbiamo l'insieme A = {1, 2, 4, 8 e 16} e l'insieme B = {2, 4, 6, 8 e 10}. Secondo le alternative, dove si trovano gli elementi 2, 4 e 8?
Alternativa corretta: c).
Gli elementi 2, 4 e 8 sono comuni a entrambi gli insiemi. Pertanto, si trovano nel sottoinsieme A ∩ B (A intersezione con B).
domanda 5
Dati gli insiemi A, B e C, quale immagine rappresenta A U (B ∩ C)?
Alternativa corretta: d)
L'unica alternativa che soddisfa la condizione iniziale di B ∩ C (a causa delle parentesi) e, successivamente, l'unione con A.
domanda 6
È stata effettuata un'indagine per conoscere le abitudini di acquisto dei consumatori in relazione a tre prodotti. La ricerca ha ottenuto i seguenti risultati:
- 40% acquista il prodotto A.
- 25% acquista il prodotto B.
- il 33% acquista il prodotto C.
- Il 20% acquista i prodotti A e B.
- Il 5% acquista i prodotti B e C.
- Il 19% acquista i prodotti A e C.
- Il 2% acquista tutti e tre i prodotti.
Sulla base di questi risultati, rispondi:
a) Quale percentuale di intervistati non acquista nessuno di questi prodotti?
b) Quale percentuale di intervistati acquista il prodotto A e B e non acquista il prodotto C?
c) Quale percentuale di intervistati acquista almeno uno dei prodotti?
Risposte:
a) Il 44% degli intervistati non consuma nessuno dei tre prodotti.
b) il 18% delle persone che consumano entrambi i prodotti (A e B) non consumano il prodotto C.
c) il 56% degli intervistati consuma almeno uno dei prodotti.
Per risolvere questo problema, facciamo un diagramma per visualizzare meglio la situazione.
Bisogna sempre partire dall'intersezione dei tre insiemi. Quindi includeremo il valore dell'intersezione di due insiemi e, infine, la percentuale di persone che acquistano solo un'unica marca di prodotto.
Si nota che la percentuale di persone che consumano due prodotti include anche la percentuale di persone che consumano i tre prodotti.
Pertanto, nel grafico indichiamo la percentuale di coloro che consumano solo due prodotti. Per fare questo bisogna sottrarre la percentuale di chi consuma i tre prodotti da chi ne consuma due.
Ad esempio, la percentuale indicata che consuma il prodotto A e il prodotto B è del 20%, tuttavia questo valore viene contabilizzato per il 2% relativo a chi consuma i tre prodotti.
Sottraendo questi valori, cioè 20% - 2% = 18%, troviamo la percentuale di consumatori che acquistano solo i prodotti A e B.
Considerando questi calcoli, il diagramma per la situazione descritta sarà come mostrato nella figura seguente:
Sulla base di questo diagramma, possiamo ora passare a rispondere alle domande proposte.
Il) La percentuale di coloro che non acquistano alcun prodotto è pari al totale, cioè 100% tranne che consumano qualsiasi prodotto. Quindi, dobbiamo fare il seguente calcolo:
100 - (3 + 18 + 2 + 17 + 2 + 3 + 11) = 100 - 56 = 44%
Presto, Il 44% degli intervistati non consuma nessuno dei tre prodotti.
B) La percentuale di consumatori che acquistano il prodotto A e B e non acquistano il prodotto C si ottiene sottraendo:
20 - 2 = 18%
Perciò, Il 18% delle persone che consumano entrambi i prodotti (A e B) non consumano il prodotto C.
ç) Per trovare la percentuale di persone che consumano almeno uno dei prodotti basta sommare tutti i valori nel diagramma. Quindi abbiamo:
3 + 18 + 2 + 17 + 2 + 3 + 11 = 56%
Così, Il 56% degli intervistati consuma almeno uno dei prodotti.
domanda 7
(Enem/2004) Un produttore di cosmetici decide di produrre tre diversi cataloghi dei suoi prodotti, rivolti a un pubblico diverso. Poiché alcuni prodotti saranno presenti in più di un catalogo e occuperanno un'intera pagina, decide di fare un conteggio per ridurre le spese con gli originali stampati. I cataloghi C1, C2 e C3 avranno rispettivamente 50, 45 e 40 pagine. Confrontando i disegni di ogni catalogo, scopre che C1 e C2 avranno 10 pagine in comune; C1 e C3 avranno 6 pagine in comune; C2 e C3 avranno 5 pagine in comune, di cui 4 anche in C1. Eseguendo i calcoli corrispondenti, il produttore ha concluso che, per l'assemblaggio dei tre cataloghi, sarà necessario un totale di originali di stampa pari a:
a) 135
b) 126
c) 118
d) 114
e) 110
Alternativa corretta: c) 118
Possiamo risolvere questa domanda costruendo un diagramma. Per questo partiamo dalle pagine comuni ai tre cataloghi, cioè 4 pagine.
Da lì indicheremo i valori, sottraendo quelli che sono già stati contabilizzati. Pertanto, il diagramma sarà come indicato di seguito:
I valori sono stati trovati effettuando i seguenti calcoli:
- Intersezione C1, C2 e C3: 4
- Intersezione C2, C3: 5 - 4 = 1
- Intersezione C1 e C3: 6 - 4 = 2
- Intersezione C1 e C2: 10 - 4 = 6
- Solo C1: 50 - 12 = 38
- Solo C2: 45 - 11 = 34
- Solo C3: 40 - 7 = 33
Per trovare il numero di pagine basta aggiungere tutti questi valori, ovvero:
4 + 1 + 2 + 6 + 38 +34 + 33 = 118
domanda 8
(Enem/2017) In questo modello di termometro, i filetti registrano la temperatura minima e massima del giorno precedente e i filetti grigi registrano la temperatura ambiente attuale, cioè al momento della lettura del termometro.
Quindi ha due colonne. A sinistra, i numeri sono in ordine crescente, dall'alto verso il basso, da -30 °C a 50 °C. Nella colonna di destra i numeri sono ordinati in ordine crescente, dal basso verso l'alto, da -30°C a 50°C.
La lettura viene eseguita come segue:
- la temperatura minima è indicata dal livello inferiore del filetto nero nella colonna di sinistra.
- la temperatura massima è indicata dal livello inferiore del filetto nero nella colonna di destra.
- la temperatura attuale è indicata dal livello superiore nei filetti grigi delle due colonne.
Qual è la temperatura massima più vicina registrata su questo termometro?
a) 5 °C
b) 7°C
c) 13°C
d) 15°C
e) 19°C
Alternativa corretta: e) 19°C
Per risolvere il problema basta leggere la scala nella colonna di destra del filetto nero, che rappresenta il record di temperatura massima.
domanda 9
(Enem /2017) Il risultato di un sondaggio elettorale, sulla preferenza degli elettori rispetto a due candidati, è stato rappresentato mediante il Grafico 1.
Quando questo risultato è stato pubblicato su un giornale, il grafico 1 è stato tagliato durante l'impaginazione, come mostrato nel grafico 2.
Sebbene i valori presentati siano corretti e la larghezza delle colonne sia la stessa, molti lettori ha criticato il formato del grafico 2 stampato sul giornale, sostenendo che ci fosse un danno visivo al candidato B. La differenza tra i rapporti di altezza della colonna B rispetto alla colonna A nei grafici 1 e 2 è:
a) 0
b) 1/2
c) 1/5
d) 2/15
e) 8/35
Alternativa corretta: e) 8/35
Per risolvere il problema, dobbiamo prima trovare il rapporto tra l'altezza della colonna B e la colonna A nei due grafici. Questi rapporti si trovano contando quante divisioni ci sono in ogni colonna.
Si noti che nel grafico 1, la colonna A è divisa in 7 "pezzi" uguali, mentre la colonna B in 3. Nel grafico 2, la colonna A è divisa in 5 "pezzi" uguali e la colonna B solo in 1.
Pertanto, le frazioni che rappresentano i rapporti tra l'altezza della colonna B e la colonna A possono essere indicate con
Ora risolvi la sottrazione tra queste due frazioni, quindi abbiamo:
domanda 10
(Enem/2018) Per creare un logo, un professionista nel campo della grafica vuole costruirlo utilizzando l'insieme di punti piani a forma di triangolo, esattamente come mostrato nell'immagine.
Per costruire tale immagine utilizzando uno strumento grafico, sarà necessario scrivere algebricamente l'insieme che rappresenta i punti di questo grafico.
Questo insieme è dato dalle coppie ordinate (x; e) ℕ X ℕ, tale che
a) 0. x ≤ y ≤ 10
b) 0 ≤ y ≤ x ≤ 10
c) 0 ≤ x ≤ 10, 0 ≤ y ≤ 10
d) 0 x + y ≤ 10
e) 0 x + y 20
Alternativa corretta: b) 0 ≤ y ≤ x ≤ 10
Si noti che la cifra espressa nella domanda, sia sull'asse y che sull'asse x, comprende i numeri naturali (ℕ X ℕ) tra 0 e 10. Dobbiamo: 0 ≤ e ≤ 10 e 0 ≤ x ≤ 10.
Quindi: y = (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10) e x = (0, 1,2,3,4,5,6,7,8,9, 10 ). Tuttavia, la figura raffigurata è un triangolo. Per soddisfare questa condizione, in coppie ordinate y non può essere maggiore di x.
Nota che i valori di y sono limitati dall'uguaglianza con i valori di x, formando l'ipotenusa di questo triangolo rettangolo: (0,0), (1;1), (2;2), (3;3 ), (4; 4), (5;5)...(10;10).
Quindi, dobbiamo: y ≤ x.
Presto, 0 ≤ y ≤ x ≤ 10.
Per saperne di più leggi anche:
- Insiemi numerici
- numeri reali
- numeri interi
- Numeri razionali
- numeri irrazionali
- Numeri naturali
- Numeri complessi
- Esercizi sulle serie
- Esercizi sui numeri complessi
